庞加莱定理及其应用

本文是数分三的期末小论文，时间很赶，我对这篇小论文很不满意. 数分三期末有道大题看错了算了一堆不对的东西，最后发现了也没来得及算完，简直依托答辩. 这篇文章缝的东西来源也不多，De Rham 上同调群纯粹凑字数，不过以后应该是碰不到了，或许也有可能碰到. 下学期必修课要冲冲分了，想去听的黎曼几何和随机矩阵也要好好听.

导言

在微分形式的理论中，外微分算子 \(\mathrm{d}\) 起到相当重要的作用. 我们定义过闭微分形式和恰当微分形式的概念. 本文中记号 \(\Omega^{p}(M)\) 表示光滑流形 \(M\) 上的所有光滑实值 \(p\) 次微分形式的空间，而 \(\Omega(M)\)

定义1.1 微分形式 \(\omega \in \Omega^{p}(M)\) 称为闭微分形式（下简称闭形式），如果 \(\mathrm{d}\omega=0\).

定义1.2 微分形式 \(\omega \in \Omega^{p}(M)(p>0)\) 称为恰当微分形式（下简称恰当形式），如果满足 \(\omega=\mathrm{d}\alpha\) 的微分形式 \(\alpha \in \Omega^{p-1}(M)\) 存在.

流形 \(M\) 的所有闭 \(p\) 形式的集合记为 \(Z^{p}(M)\)，而 \(M\) 上的所有恰当 \(p\) 形式的集合记为 \(B^{p}(M)\).

课上在定义外微分算子 \(\mathrm{d}\) 时，自动有 \(\mathrm{d}^{2}=0\)，所以 $B^{p}(M)Z{p}(M) $. 一般而言这个包含关系是严格的.

这就引出一个问题，当微分形式 \(\omega\) 满足必要条件 \(\mathrm{d}\omega=0\) 时，方程 \(\mathrm{d}\alpha=\omega\) 是否可解. 这与 \(M\) 的拓扑结构有关，本文将介绍最简单版本的庞加莱定理及其应用.

庞加莱定理

先给出一个定义

定义2.1 流形 \(M\) 称为可收缩（于点 \(x_0\in M\)）的或单点同伦的，如果存在光滑映射 \(h\colon M\times I\rightarrow M\)，其中 \(I=[0,1]\)，使 \(h(x,1)=x\)，\(h(x,0)=x_0\).

定理2.2（庞加莱定理）. 可收缩于点的流形 \(M\) 上的任何闭 \(p+1\) 形式 \((p\geqslant 0)\) 都是恰当的.

考虑“柱体” \(M\times I\)，即 \(M\) 与单位区间 \(I\) 的直积，以及两个映射 \(j_{i}\colon M\rightarrow M\times I\)，\(j_{i}(x)=(x,i),i=0,1\)，它们使 \(M\) 分别等同于柱体 \(M\times I\) 的两个底面. 于是有相应的拉回映射 \(j_{i}^{*}\colon \Omega^{p}(M\times I)\rightarrow \Omega^{p}(M)\)，其结果是把 \(\Omega^{p}(M\times I)\) 中的微分形式中的变量 \(t\) 改为 \(i\) 的值. 注意此时若自变量中含 \(\mathrm{d}t\) 项，则拉回的结果当然是 \(0\).

证明一

构造一个线性算子 \(K\colon \Omega^{p+1}(M\times I)\rightarrow \Omega^{p}(M)\)，它在作用于单项式的时候由以下方式确定： \[ K(a(x,t)\mathrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_{p+1}}):=0, \]

\[ K(a(x,t)\mathrm{d}t \wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge\mathrm{d}x^{i_p}):=\left( \int_{0}^{1} a(x,t) \mathrm{d}r \right) \mathrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p}. \]

关于算子 \(K\) 的我们所需要的基本性质是，对于任何一个微分形式 \(\omega \in \Omega^{p+1}(M\times I)\)，以下关系式成立： \[ K(\mathrm{d}\omega)+\mathrm{d}(K\omega)=j_1^{*}\omega-j_0^{*}\omega. \tag{1} \]

因为算子 \(K,d,j_1^{*},j_0^{*}\) 都是线性的，故只要对单项式验证这个关系式. 如果 \(\omega=a(x,t)\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_{p+1}}\)，则 \(K\omega=0\)，\(\mathrm{d}(K\omega)=0\)， \[ \mathrm{d}\omega=\frac{\partial a}{\partial t}\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge\mathrm{d}x^{i_{p+1}}+\text{不含 $\mathrm{d}t$ 的项}, \]

\[ \begin{aligned} K(\mathrm{d}\omega)&=\left( \int_{0}^{1} \frac{\partial a}{\partial t} \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}x^{i_1} \wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_{p+1}} \\ &=(a(x,1)-a(x,0))\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge\mathrm{d}x^{i_{p+1}}=j_1^{*}(\omega)-j_0^{*}(\omega), \end{aligned} \]

所以关系式（1）成立.

如果 \(\omega=a(x,t)\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p}\)，则 \(j_1^{*}\omega=j_0^{*}\omega=0\). 于是 \[ \begin{aligned} K(\mathrm{d}\omega)&=K\left(-\sum_{i_0}^{} \frac{\partial a}{\partial x^{i_0}}\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}x^{i_0}\wedge\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \right)\\ &=-\sum_{i_0}^{} \left( \int_{0}^{1} \frac{\partial a}{\partial x^{i_0}}\mathrm{d}x \right) \mathrm{d}x^{i_0}\wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p}, \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \mathrm{d}(K\omega)&=\mathrm{d}\left( \left( \int_{0}^{1} a(x,t) \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}x^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \right) \\ &=\sum_{i_0}^{} \frac{\partial }{\partial x^{i_0}}\left( \int_{0}^{1} a(x,t) \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}x^{i_0}\wedge \mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p}\\ &=\sum_{i_0}^{} \left( \int_{0}^{1} \frac{\partial a}{\partial x^{i_0}} \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}x^{i_0}\wedge\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \end{aligned} \]

因此在这种情况下（1）也成立.

现在，设 \(M\) 是可收缩于点 \(x_0 \in M\) 的流形，\(h\colon M\times I\rightarrow M\) 是定义3中的映射，\(\omega\) 是 \(M\) 上的 \(p+1\) 形式. 显然 \(h \circ j_1\colon M\rightarrow M\) 是恒等映射，\(h\circ j_0\colon M\rightarrow x_0\) 是 \(M\) 到点 \(x_0\) 的映射，所以 \((j_1^{*}\circ h^{*})\omega=\omega\)，\((j_0^{*}\circ h^{*})\omega=0\). 因此，这时从（1）推出 \[ K(\mathrm{d}(h^{*}\omega))+\mathrm{d}(K(h^{*}\omega))=\omega. \tag{2} \] 又因为 \(\omega\) 是 \(M\) 上的闭形式，而且 \(\mathrm{d}(h^{*}\omega)=h^{*}(\mathrm{d}\omega)=0\)，所以从（2）得到 \[ \mathrm{d}(K(h^{*}\omega))=\omega. \]

因此，闭形式 \(\omega\) 是微分形式 \(\alpha=K(h^{*}\omega)\in \Omega^{p}(M)\) 的外微分，即 \(\omega\) 是 \(M\) 上的恰当形式

证明二

引入向量场 \(X\) 与微分形式 \(\omega\) 的内积.

定义4. 设 \(X\) 是光滑流形 \(M\) 上的向量场，\(\omega\) 是 \(M\) 上的 \(k\) 次微分形式. 由关系式 \((i_{X}\omega)(X_1,\cdots ,X_{k-1}):=\omega(X,X_1,\cdots ,X_{k-1})\)（其中 \(X_1,\cdots ,X_{k-1}\) 是 \(M\) 上的向量场）确定的 \(k-1\) 形式 \(i_{X}\omega\) 称为场 \(X\) 与微分形式 \(\omega\) 的内积. 对于 \(0\) 形式，即对于 \(M\) 上的函数，取 \(i_{X}f=0\).

先证明一个引理，

引理1. 设 \(t\mapsto h_t \in C^{\infty}(M,N)\) 是光滑地依赖于参数 $t I $ 的一族从流形 \(M\) 到流形 \(N\) 的映射. 则对于任何微分形式 \(\omega \in \Omega(N)\)，以下同伦公式成立： \[ \frac{\partial }{\partial t}(h_t^{*}\omega)(x)=\mathrm{d}h_t^{*}(i_{X}\omega)(x)+h_t^{*}(i_{X} \mathrm{d}\omega)(x), \tag{3} \]

其中 \(x \in M\)；\(X\) 是 \(N\) 上的向量场，并且 \(X(x,t)\in TN_{h_t(x)}\)，而对于道路 \(t'\mapsto h_{t'}(x)\)，\(X(x,t)\) 是在 \(t'=t\) 时的速度向量.

证明： 首先如果在图 $^{n}U M $ 的局部坐标 \(x^{1},\cdots ,x^{n}\) 下，微分形式 \(\omega|_{U}\) 的表达式为 \[ \sum_{1\leqslant i_1<\cdots <i_{k}\leqslant n}^{} a_{i_1\cdots i_k}(x)\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}=\frac{1}{k!}a_{i_1\cdots i_k}\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}, \]

而 \(X=X^{i}\frac{\partial }{\partial x^{i}}\)，则

\[ \begin{aligned} (i_{X}\omega)\left(\frac{\partial }{\partial x^{\alpha_2}},\cdots ,\frac{\partial }{\partial x^{\alpha_{k}}}\right)&=\omega \left( X^{i}\frac{\partial }{\partial x^{i}},\frac{\partial }{\partial x^{\alpha_2}},\cdots ,\frac{\partial }{\partial x^{\alpha_k}} \right) \\ &=X^{i}\omega \left( \frac{\partial }{\partial x^{i}},\frac{\partial }{\partial x^{\alpha_2}},\cdots ,\frac{\partial }{\partial x^{\alpha_k}} \right) \\ &=\frac{1}{k!}X^{i}a_{i_1\cdots i_k}\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}\left( \frac{\partial }{\partial x^{i}},\frac{\partial }{\partial x^{\alpha_2}},\cdots ,\frac{\partial }{\partial x^{\alpha_k}} \right) \\ &=\frac{1}{(k-1)!}X^{i}a_{ii_2\cdots i_k}\delta_{\alpha_2\cdots \alpha_k}^{i_2\cdots i_k}, \end{aligned} \]

故 \[ i_{X}\omega=\frac{1}{(k-1)!}X^{i}a_{ii_2\cdots i_k}\mathrm{d}x^{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}. \]

下面只对单项式 \(\omega\) 证明（3）. 如果 \(\omega\) 是 \(N\) 上的函数 \(\omega=f\)，由定义知 \(i_{X}f=0\)，故有 \[ \frac{\partial }{\partial t}(h_t^{*}\omega)=\frac{\partial }{\partial t}(h_t^{*}f)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}\frac{\partial h_t^{j}}{\partial t}=X^{j}\frac{\partial f}{\partial y^{j}}=h_t^{*}(i_{X}\frac{\partial f}{\partial y^{j}}\mathrm{d}y^{j})=h_t^*(i_{X}\mathrm{d}\omega) \tag{4} \]

即对 \(\omega=f\) 的情况，（3）成立.

下面设 \(\omega=a(y)\mathrm{d}y^{j_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}y^{j_k}\)，\(X(x,t)=X^{j}(x,t)\frac{\partial }{\partial y^{j}}=\frac{\partial h_t^{j}}{\partial y^{j}}\frac{\partial }{\partial y^{j}}\). 可得 \[ i_{X}\omega=\sum_{p=1}^{k} (-1)^{p-1}X^{j_p}a(y) \mathrm{d}y^{j_1}\wedge\cdots \wedge \widehat{\mathrm{d}y^{j_p}}\wedge\cdots \wedge\mathrm{d}y^{j_k} \]

一方面， \[ \begin{aligned} \frac{\partial }{\partial t}(h_t^{*}\omega)&=\frac{\partial }{\partial t}\left( a\circ h_t \frac{\partial y^{j_1}}{\partial x^{i_1}}\cdots \frac{\partial y^{j_k}}{\partial x^{i_k}}\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge\mathrm{d}x^{i_k} \right) \\ &=\frac{\partial a}{\partial y^{j_0}} \frac{\partial h_t^{j_0}}{\partial t}\frac{\partial y^{j_1}}{\partial x^{i_1}}\cdots \frac{\partial y^{j_k}}{\partial x^{i_k}}\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_k} \end{aligned} \] (5)

另一方面，由于 \(\mathrm{d}h_t^{*}(i_{X}\omega)=h_t^{*}(\mathrm{d}i_{X}\omega)\)，故右边 \(=h_t^{*}(\mathrm{d}i_{X}\omega+i_{X}\mathrm{d}\omega)\)，又 \[ \begin{aligned} i_{X}\mathrm{d}\omega&=i_{X}\left( \frac{\partial a}{\partial y^{j_0}}\mathrm{d}y^{j_0}\wedge\mathrm{d}y^{j_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}y^{j_k} \right) \\ &=\sum_{p=0}^{k} (-1)^{p}X^{j_p}\frac{\partial a}{\partial y^{j_0}}\mathrm{d}y^{i_0}\wedge\cdots \wedge \widehat{\mathrm{d}y^{j_p}}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}y^{j_k}\\ &=\sum_{p=0}^{k} (-1)^{p}\frac{\partial h_t^{j_p}}{\partial y^{j_p}}\frac{\partial a}{\partial y^{j_0}}\mathrm{d}y^{i_0}\wedge\cdots \wedge \widehat{\mathrm{d}y^{j_p}}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}y^{j_k} \end{aligned} \] (6)

\[ \begin{aligned} \mathrm{d}i_{X}\omega&=\mathrm{d}\left( \sum_{p=1}^{k} (-1)^{p-1} X^{j_p}a(y)\mathrm{d}y^{j_1}\wedge \cdots \wedge \widehat{\mathrm{d}y^{j_p}}\wedge\cdots \wedge\mathrm{d}y^{j_k} \right) \\ &=\mathrm{d}\left( \sum_{p=1}^{k} (-1)^{p-1}\frac{\partial h_t^{j_p}}{\partial t}a(y)\mathrm{d}y^{j_1}\wedge \cdots \wedge \widehat{\mathrm{d}y^{j_p}}\wedge\cdots \wedge\mathrm{d}y^{j_k} \right) \\ &=\sum_{p=1}^{k} (-1)^{p-1}\frac{\partial h_t^{j_p}}{\partial t}\frac{\partial a}{\partial y^{j_0}}\mathrm{d}y^{j_0}\wedge\mathrm{d}y^{j_1}\wedge \cdots \wedge \widehat{\mathrm{d}y^{j_p}}\wedge\cdots \wedge\mathrm{d}y^{j_k} \end{aligned} \] (7)

从而有 \[ \begin{aligned} h_t^{*}(\mathrm{d}i_{X}\omega+i_{X}\mathrm{d}\omega)&=h_t^{*} \left( \frac{\partial h_t^{j_0}}{\partial t}\frac{\partial a}{\partial y^{j_0}}\mathrm{d}y^{j_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}y^{j_k}\right) \\ &=\frac{\partial a}{\partial y^{j_0}} \frac{\partial h_t^{j_0}}{\partial t}\frac{\partial y^{j_1}}{\partial x^{i_1}}\cdots \frac{\partial y^{j_k}}{\partial x^{i_k}}\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_k} \end{aligned} \] (8)

对比（5）和（8）知（3）成立. 由各算子的线性性知对一般的 \(\omega\)，（3）都成立.

回到庞加莱定理，在引理中取 \(M=N\). 设 \(M\) 上有一闭形式 \(\omega\)，则 \[ \frac{\partial }{\partial t}(h_t^{*}\omega)(x)=\mathrm{d}h_t^{*}(i_{X}\omega)(x). \tag{9} \]

因为 \(M\) 可缩于点 \(x_0\)，由定义知存在对参数 \(t \in [0,1]\) 光滑依赖的 \(M\) 到 \(M\) 的映射，且对任意 \(x \in M\)， \(h_1(x)=x\)，\(h_0(x)=x_0\). 故在（9）中对 \(t\) 从\(0\)到\(1\)积分，得 \[ \omega=h_1^{*}(\omega)-h_0^{*}(\omega)=\int_{0}^{1} \frac{\partial }{\partial t}(h_t^{*}\omega) \mathrm{d}t=\int_{0}^{1} \mathrm{d}h_t^{*}(i_{X}\omega) \mathrm{d}t=\mathrm{d} \int_{0}^{1} h_t^{*}(i_{X}\omega) \mathrm{d}t. \tag{10} \]

即 \(\omega\) 是 \(M\) 上的恰当形式.

由于光滑流形局部同胚于欧氏空间，而欧氏空间是可缩的，所以流形上的任何闭微分形式在局部都是恰当的. 但是，并非总是能够把这些局部原像粘合为整个流形上的一个微分形式，这与流形的拓扑结构有关. 参考文献中提供了 \(\mathbb{R}^{2}\backslash 0\) 上的微分形式 \(\omega=\displaystyle \frac{-y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y}{x^{2}+y^{2}}\) 这样一个例子.

De Rham 上同调群

定义5. 商空间 \[ H^{p}(M):=Z^{p}(M)/ B^{p}(M) \tag{11} \]

称为流形 \(M\) 的（实系数） \(p\) 维上同调群（关于加法）.

该定义由De Rham提出，不难验证良定义性. 因此，如果两个闭形式 \(\omega_1,\omega_2 \in Z^{p}(M)\) 满足 \(\omega_1-\omega_2 \in B^{p}(M)\)，则这两个闭形式属于同一个上同调类，即它们是上同调的. 用记号 \([\omega]\) 表示微分形式 \(\omega \in Z^{p}(M)\) 所属的上同调类. 因为 \(Z^{p}(M)\) 是算子 \(\mathrm{d}^{p}\colon \Omega^{p}(M)\rightarrow \Omega^{p+1}(M)\) 的核，而 \(B^{p}(M)\) 是算子 \(\mathrm{d}^{p-1}\colon \Omega^{p-1}(M)\rightarrow \Omega^{p}(M)\) 的像，所以可以把（11）改写为 \[ H^{p}(M)=\text{Ker}\ \mathrm{d}^{p}/\text{Im}\ \mathrm{d}^{p-1}. \]

设 \(M\) 是一个光滑流形，\(H^{p}(M)\) 是 \(M\) 的 \(p\) 维上同调群.

证明： 1是定义3.1的直接结果. 2是庞加莱定理的推论. 3是由于如果连通流形上的函数 \(f\colon M\rightarrow \mathbb{R}\) 满足 \(\mathrm{d}f=0\)，则 \(f\) 为常数.

通过庞加莱定理的证明二，可以发现：如果把光滑映射 \(h\colon M\times I\rightarrow M\) 看作一族依赖于参数 \(t \in I\) 的映射 \(h_t\colon M\rightarrow M\)，则对于 \(M\) 上的任何一个闭形式 \(\omega\)，有 \[ h_{t}^{*}(\omega)=\mathrm{d}\int_{0}^{t} h_t^{*}(i_{X}\omega) \mathrm{d}t \] 这说明所有微分形式 \(h_t^{*}\omega(t \in I)\) 都属于同一个上同调类. 通过引理，我们可以证明一个关于同伦与上同调群的初步结论.

如果 \(K\) 是可收缩于一个点的流形，则对于任何一个流形 \(M\) 和任何一个整数 \(p\)，等式 \(H^{p}(K\times M)=H^{p}(M)\) 成立.

证明： 由 \(K\) 可缩于一点知，对于任何一个流形 \(M\)，存在一族光滑地依赖于参数 \(t \in I=[0,1]\) 的从 \(M\times K\) 到自身的映射，满足任意 \(x \in M,p \in K\)， \[ h_1(x,p)=(x,p),\ h_0(x,p)=(x,p_0) \]

所以对于 \(M\times K\) 上的任何一个闭形式 \(\omega\)， \(h_1^{*}\omega\) 和 \(h_0^{*}\omega\) 属于同一个上同调类，故 \(H^{p}(K\times M)=H^{p}(M\times {p_0})\). 显然 \(H^{p}(M\times{p_0})=H^{p}(M)\)，从而有 \(H^{p}(K\times M)=H^{p}(M)\) 成立.

事实上，\(M\times K\) 和 \(M\) 是同伦的. 更一般的，De Rham 上同调群是一个同伦不变量，但证明涉及上链复形等高级内容，超出了本文范围. 限于篇幅所限，不介绍同伦的概念和上同调群同伦不变量的性质.

有一个性质是可以在此证明的：De Rham 上同调群是一个拓扑不变量，即De Rham 上同调群关于微分同胚在同构意义下不变. 因此，Re Rham 上同调群能够刻画一部分的流形拓扑性质，由于同伦的拓扑空间不一定同胚，Re Rham 上同调群不能完全刻画流形的拓扑性质.

如果 \(\varphi\colon M\rightarrow N\) 是一个微分同胚，那么 \[ \varphi^{*}\colon H^{p}(N)\rightarrow H^{p}(M) \] 是一个线性同构.

定义6.定义 \([\omega]\in H^{k}(M)\) 和 \([\eta]\in H^{l}(M)\) 之间的杯积 \[ [\omega]\cup [\eta]:=[\omega \wedge \eta] \in H^{k+l}(M). \]

我们需要验证良定义性. 设 \(\omega \in Z^{k}(M)\)，\(\eta \in Z^{l}(M)\)，那么 \[ \mathrm{d}(\omega\wedge \eta)=\mathrm{d}\omega\wedge \eta+(-1)^{k}\omega \wedge \mathrm{d}\eta=0, \] 即 \(\omega\wedge \eta \in Z^{k+l}(M)\). 另外，对于任意 \(\xi_1 \in \Omega^{k-1}(M)\) 和 \(\xi_2 \in \Omega^{l-1}(M)\)， \[ (\omega+\mathrm{d}\xi_1)\wedge (\eta+\mathrm{d}\xi_2)=\omega\wedge \eta +\mathrm{d}[(-1)^{k}\omega\wedge\xi_2+(-1)^{k-1}\xi_1 \wedge \eta+(-1)^{k-1}\xi_1\wedge\xi_2]. \] 即该定义是良定的.

类似地假设 \(\varphi \colon M\rightarrow N\) 光滑. 那么由 \(\mathrm{d}\varphi^{*}=\varphi^{*}\mathrm{d}\) 得 \[ \varphi^{*}(Z^{k}(N))\subset Z^{k}(M), \quad \varphi^{*}(B^{k}(N))\subset B^{k}(M). \] 从而 \(\varphi^{*}\colon \Omega^{k}(N)\rightarrow \Omega^{k}(M)\) 诱导出上同调群上的拉回映射 \(\varphi^{*}\colon H^{k}(N)\rightarrow H^{k}(M)\)： \[ \varphi^{*}([\omega]):=[\varphi^{*}\omega]. \] 显然 \(\varphi^{*}\) 是一个群同态. 容易验证有 - \((\psi\circ \varphi)^{*}=\varphi^{*}\circ \psi^{*}\). - \(\text{Id}^{*}=\text{Id}\).

取 \(\psi=\varphi^{-1}\)，就知道命题3.4成立.

结语

本文给出了庞加莱定理的两个证明，后一种尤其具有启发意义，因为其与同伦有着密切关系，给出的引理还可以推出Cartan 同伦公式. 庞加莱引理的本质是局部的，大范围的结果是本文未介绍的德拉姆定理. 本文还介绍了De Rham 上同调群，这是代数拓扑中极为重要和基础的概念，与之相关的同调群可以配合着导出 Stokes 公式，从中可以一窥数学的对称与美妙.