浅谈Hartman-Grobman定理

这是ODE课的期末大作业. 期中考考得我心态崩了，期末考总体尽力了，但是有一个很弱智的计算错误令我无比痛心. 这篇文章不能够令我满意的地方有三处：限于篇幅原因关于双曲同构的一些结果没有给出证明，关于非线性微分方程组线性化的 Hartman-Grobman 定理说得不是很清楚，最后的例子只给出了思路而没有给出证明. 总的来说感觉学到了很多.

Banach空间上的双曲同构

首先我们要引入双曲同构的概念. 我们需要将有限维线性空间同构的一些结果推广到无限维空间中去.

我们知道，对于 \(\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\) 上有限维线性空间 \(E\) 的自同构 \(A:E \to E\)，如果 \(A\) 没有模为1的特征值，那么存在 \(E\) 的子空间 \(E^{s}\) 和 \(E^{u}\) 满足： - \(E=E^{s}\oplus E^{u}\); - \(A^{n}x\to 0\) as \(n\to +\infty\) for all \(x \in E^{s}\); - \(A^{-n}x \to 0\) as \(n\to +\infty\) for all \(x \in E^{u}\).

我们将 \(E^{s}\) 称为 \(A\) 的稳定空间，将 \(E^{u}\) 称为 \(A\) 的不稳定空间. 无穷维Banach空间上的线性同构可能没有通常意义下的特征值，解决方法是考虑算子的谱. ### 有界线性算子的谱和预解

本节我们介绍复Banach空间上有界线性算子的谱，并证明相关的一些性质.

定义1.1.1 设 \(E\) 是一个复Banach空间. 定义 \(T \in \mathscr{L}(E)\) 的谱为 \[ \sigma(T)=\{ \lambda \in \mathbb{C}\colon \lambda I-T \text{不可逆}\}. \]

定义 \(T\) 的预解集为 \[ \rho(T)=\mathbb{C} \backslash \sigma (T). \]

给定 \(\lambda \in \rho(T)\)，定义 \(T\) 在 \(\lambda\) 处的预解算子为 \[ R_{\lambda}(T)=(\lambda I-T)^{-1}. \]

引理1.1.2. 设 \(E\) 是一个复Banach空间，\(A,B\colon E \to E\) 是有界线性同构，则 - \(\sigma(A ^{-1})=\{1/\lambda\colon \lambda \in \sigma(A)\}\); - \(\sigma(BAB ^{-1})=\sigma(A)\).

证明 注意到 \(A\) 可逆，

复化

给定实线性空间 \(E\)，定义 \[ E_{\mathbb{C}}=\{x+iy\colon x,y \in E\}. \]

定义 \(E_{\mathbb{C}}\) 上的复结构如下：对于 \(x+iy,u+iv \in E_{\mathbb{C}}\)，定义 \[ (x+iy)+(u+iv)=(x+u)+i(y+v). \]

对于 \(\alpha +i \beta \in \mathbb{C}\) 和 \(x+iy \in E_{\mathbb{C}}\)，定义 \[ (\alpha+i\beta)(x+iy)=(\alpha x-\beta y)+i(\alpha y+\beta x). \]

则 \(E_{\mathbb{C}}\) 成为一个复线性空间，将其称为 \(E\) 的复化.

我们希望在 \(E_{\mathbb{C}}\) 上赋予范数，使得在 \(E\) 是Banach空间时，\(E_{\mathbb{C}}\) 也是Banach空间. 寻找这样的范数并不平凡，一个选择由A.E.Taylor提出，对 \(x+iy \in E_{\mathbb{C}}\)， \[ \left\| x+iy \right\|_{\mathbb{C}}=\sup_{\theta \in [0,2\pi]}\left\| x\cos \theta- y\sin \theta \right\|_{} \]

不难验证，\(\left\| \cdot \right\|_{\mathbb{C}}\) 给出了 \(E_{\mathbb{C}}\) 上的范数，且满足对于任何 \(x,y \in E\)， \[ \max \{\left\| x \right\|_{},\left\| y \right\|_{}\}\leqslant \left\| x+iy \right\|_{\mathbb{C}}\leqslant \left\| x \right\|_{}+\left\| y \right\|_{}. \tag{2} \]

如此定义的好处是，我们不会丢失 \(E\) 的完备性.

命题1.2.1. 如果 \(E\) 是一个配有范数 \(\left\| \cdot \right\|_{}\) 的Banach空间，则 \(E_{\mathbb{C}}\) 是一个配有范数 \(\left\| \cdot \right\|_{\mathbb{C}}\) 的Banach空间.

证明 任取 \(E_{\mathbb{C}}\) 中的Cauchy列 \(\{x_{n}+iy_{n}\}\)，由（2）知 \(\{x_n\}\) 和 \(\{y_n\}\) 都是 \(E\) 中的Cauchy列. 由 \(E\) 的完备性知，存在 \(x \in E\)，\(y \in E\)，使得 \(x_n \to x\)，\(y_n\to y\). 故 \(x_n+iy_n \to x+iy\)，从而 \(E_{\mathbb{C}}\) 完备.

另一方面，我们可以定义算子的复化. 给定实线性空间 \(E\) 上的线性算子 \(T\colon E \to E\)，定义 \(T\) 的复化为 \[ \begin{aligned} T_{\mathbb{C}}\colon E_{\mathbb{C}} &\to E_{\mathbb{C}}\\ x+iy&\mapsto Tx+iTy. \end{aligned} \] 不难验证 \(T_{\mathbb{C}}\) 是 \(E_{\mathbb{C}}\) 上的线性算子. 一个不平凡的结果是，复化保持算子范数.

引理1.2.2. 设 \(E\) 是一个实Banach空间. 如果 \(T\colon E \to E\) 是一个有界算子，则 \(T_{\mathbb{C}}\colon E_{\mathbb{C}} \to E_{\mathbb{C}}\) 是一个有界算子且 \(\left\| T_{\mathbb{C}} \right\|_{\mathbb{C}}=\left\| T \right\|_{}\).

证明 对任意 \(x+iy \in E_{\mathbb{C}}\)，我们有 \[ \begin{aligned} \left\| T_{\mathbb{C}}(x+iy) \right\|_{\mathbb{C}} &= \left\| Tx+iTy \right\|_{\mathbb{C}}\\ &=\sup_{\theta \in [0,2\pi]} \left\| T_x \cos \theta-Ty \sin \theta \right\|_{} \\ &=\sup_{\theta \in [0,2\pi]} \left\| T(x \cos \theta-y\sin t\eta) \right\|_{} \\ & \leqslant \left\| T \right\|_{} \sup_{\theta \in [0,2\pi]} \left\| x\cos \theta-y\sin \theta \right\|_{} \\ &= \left\| T \right\|_{} \left\| x+iy \right\|_{\mathbb{C}}, \end{aligned} \]

故我们证明了 \(\left\| T_{\mathbb{C}} \right\|_{\mathbb{C}}\leqslant \left\| T \right\|_{}\). 进一步，注意到对于任意 \(x \in E\) 我们有 \(\left\| x \right\|_{\mathbb{C}}=\left\| x \right\|_{}\)，于是有 \[ \left\| T_{\mathbb{C}} \right\|_{\mathbb{C}}\geqslant \sup _{x\neq 0} \frac{\left\| T_{\mathbb{C}}(x+i 0) \right\|_{\mathbb{C}}}{\left\| x+i0 \right\|_{\mathbb{C}}}=\sup_{x\neq 0} \frac{\left\| Tx \right\|_{\mathbb{C}}}{\left\| x \right\|_{\mathbb{C}}}=\sup_{x\neq 0}\frac{\left\| Tx \right\|_{}}{\left\| x \right\|_{}}=\left\| T \right\|_{}, \]

故引理成立.

推论1.2.3. 设 \(E\) 是一个实Banach空间. 映射 \(\mathscr{L}(E)\ni T \mapsto T_{\mathbb{C}} \in \mathscr{L}(E_{\mathbb{C}})\) 是连续的.

最后，对于给定的实线性空间 \(E\) 上的线性算子 \(T\colon E\to E\)，定义它的谱 \(\sigma(T)\) 为它的复化的谱，即 \[ \sigma(T)=\sigma(T_{\mathbb{C}}). \]

谱分解

本节我们说明如果对复Banach空间上某算子的谱作分划，那么存在空间本身的分划与谱的分划对应. 具体的，我们有

定理1.3.1.（谱分解）设 \(E\) 是一个复Banach空间，\(T \in \mathscr{L}(E)\). 假设存在分划 \(\sigma(T)=\sigma_1 \cup \sigma_2\)，其中 \(\sigma_1,\sigma_2\) 是不相交的紧集，那么存在闭子空间 \(E_1,E_2\) 使得： - \(E=E_1 \oplus E_2\)； - \(T(E_1) \subset E_1\) 且 $T(E_2) E_2 $； - \(\sigma(T|_{E_1})=\sigma_1\) 且 \(\sigma(T|_{E_2})=\sigma_2\).

命题1.3.2 设 \(E\) 是一个复Banach空间，配有范数 \(\left\| \cdot \right\|_{}\). 对于 \(T \in \mathscr{L}(E)\)，下述条件等价： - \(T\) 的谱半径严格小于1； - 存在与 \(\left\| \cdot \right\|_{}\) 等价的范数 $$ 使得 \(\lvert T \rvert <1\)； - 存在 \(C>0\) 和 \(0<\lambda<1\) 使得对于任意 \(x \in E\)，\(n \in \mathbb{N}\)，有 \(\left\| T^{n}x \right\|_{}\leqslant C \lambda^{n}\left\| x \right\|_{}\).

双曲同构

给定线性空间 \(E\)，令 \(GL(E)\) 是 \(\mathscr{L}(E)\) 中所有可逆元所组成的集合. 注意如果 \(E\) 是Banach空间，那么由开映射定理，若 \(A \in GL(E)\)，则 \(A ^{-1} \in GL(E)\).

定义1.4.1. 如果算子 \(A \in GL(E)\) 的谱都不在单位圆 $S^{1} $上，则称 \(A\) 是双曲的. 记 \(H(E)=\{A \in GL(E)\colon A \text{是双曲的}\}\).

命题1.4.2. 设 \(E\) 是一个Banach空间，则 \(H(E)\) 在 \(GL(E)\) 中是开的.

证明 先假设 \(E\) 是一个复Banach空间. 给定 \(A \in H(E)\)，我们有 $S^{1} (A) $. 考虑 \[ M=\max_{\lambda \in S^{1}} \left\| (\lambda I-A)^{-1} \right\|_{} \]

则当 \(B \in GL(E)\)，\(\left\| B-A \right\|_{}<M ^{-1}\) 时，对任意 \(\lambda \in S^{1}\)， \[ \lambda I-B=(\lambda I-A)[I+(\lambda I-A)^{-1}(A-B)]. \]

由于 \(\left\| (\lambda I-A) ^{-1}(A-B) \right\|_{}<1\)，故 \(\lambda I-B\) 可逆. 故 \(B \in H(E)\)，从而 \(H(E)\) 在 \(GL(E)\) 中开.

再考虑 \(E\) 是实空间的情况. 由定义，\(\sigma(A)=\sigma(A_{\mathbb{C}})\)，故 \(A \in GL(E)\) 是双曲的当且仅当 \(A_{\mathbb{C}}\in GL(E_{\mathbb{C}})\) 是双曲的. 由 \(A \mapsto A_{\mathbb{C}}\) 连续和 \(H(E_{\mathbb{C}})\) 在 \(GL(E_{\mathbb{C}})\) 中开知 \(H(E)\) 在 \(GL(E)\) 中开.

定义1.4.3. 定义 \(A \in GL(E)\) 的稳定子空间为 \[ E^{s}=\{x \in E \colon \lim_{n \to +\infty}A^{n}x=0\} \]

\(A\) 的不稳定子空间为 \[ E^{u}=\{x \in E \colon \lim_{n \to +\infty} A^{-n}x=0\}. \]

容易验证 \(E^{s}\) 和 \(E^{u}\) 都是 \(E\) 的线性子空间且具有不变性质，即 \[ A(E^{s})=E^{s}\ \text{且} \ A(E^{u})=E^{u}. \]

并且存在两个常数 \(C\geqslant 1\) 和 \(0<\lambda<1\)，使得 \[ \left\| A^{n}x \right\|_{}\leqslant C \lambda^{n}\left\| x \right\|_{}, \quad \forall x \in E^{s}, n\geqslant 0, \]

\[ \left\| A^{-n}x \right\|_{}\leqslant C \lambda^{n}\left\| x \right\|_{}, \quad \forall x \in E^{u}, n\geqslant 0. \]

这时称 \(E^{s}\) 为 \(A\) （关于范数 \(\left\| \cdot \right\|_{}\)）的压缩子空间，\(E^{u}\) 为 \(A\) （关于范数 \(\left\| \cdot \right\|_{}\)）的扩张子空间. 称 \(\dim E^{s}\) 为 \(A\) 的指标. 当 \(E\) 为有限维欧氏空间时，由范数等价性，\(A\) 的双曲性不依赖于范数的选择. 但当 \(E\) 是一般的Banach空间时，范数的选取就至关重要.

下面这个结果说明当同构为双曲时，稳定空间和不稳定空间是互补的. 双曲的条件是至关重要的，否则即使是有限维空间，该结果也不一定对.

定理1.4.4. 设 \(E\) 是一个Banach空间，\(A \in H(E)\)，则 \(E=E^{s} \oplus E^{u}\).

证明 先假设 \(E\) 是一个复Banach空间. 谱分解定理告诉我们，存在 \(E\) 的分划 \(E=E_1 \oplus E_2\)，其中 \(E_1\) 和 \(E_2\) 是 \(E\) 的闭子空间，在 \(A\) 作用下不变，满足 \[ \sigma(A|_{E_1})=\sigma(A) \cap \{\lvert z \rvert <1\}\ \text{且} \ \sigma(A|_{E_2})=\sigma(A) \cap \{\lvert z \rvert >1\}. \tag{3} \]

我们将证明 \(E^{s}=E_1\) 且 \(E^{u}=E_2\). 注意（3）表明 \(A|_{E_1}\) 的谱半径 \(r(A|_{E_1})\) 满足 \[ r(A|_{E_1})<1, \tag{4} \]

由命题1.3.2知

Hartman-Grobman 定理的证明

设 \(E\) 是一个Banach空间，\(L\colon E\to E\) 是一个给定的双曲同构. 那么我们有 \(E=E^{u}\oplus E^{s}\)，\(E^{u}\) 和 \(E^{s}\) 是 \(E\) 的关于 \(L\) 的不变子空间. \(L_{u}=L|_{E^{u}}\) 是一个扩张，\(L_{s}=L|_{E^{s}}\) 是一个收缩：\(\left\| L_{u}^{-1} \right\|_{}<1\) 且 \(\left\| L_{s} \right\|_{}<1\). 如果一个 \(E\) 上线性同构的谱与单位圆不交，不难得到该线性同构对于某个 \(E\) 上的范数是双曲的.

在后续部分中，我们令 \(a=\max (\left\| L_u^{-1} \right\|_{},\left\| L_{s} \right\|_{})<1\). \(a\) 称为 \(L\) 关于范数 \(\left\| \cdot \right\|_{}\) 的双曲度. \(E\) 配有范数 \(\lvert x+y \rvert =\max(\lvert x \rvert ,\lvert y \rvert )\) （\(x\in E^{u}, y\in E^{s}\)）. 对任意 \(\mu >0\)，我们定义 \[ C_{*}^{0}(E,E)=\{\text{ $E$到 $E$ 一致有界，一致连续的映射}\} \]

\[ \mathscr{L}_{\mu}(L)=\{\Lambda=L+\lambda\colon \lambda \in C_{*}^{0}(E,E) \text{是Lipschitz的，有界 $\mu$，有$\leqslant \mu$的Lipschitz常数}\} \]

\[ \mathscr{H}=\{h=\mathbf{1}+g\colon g \in C_{*}^{0}(E,E)\} \]

这里 \(\mathbf{1}\) 是 \(E\) 上的恒同映射. 在 \(C_{*}^{0}(E,E)\) 上赋 \(C^{0}\) 范数 \[ \left\| \phi \right\|_{}=\sup_{x \in E} \lvert \phi(x) \rvert . \]

使其成为一个Banach空间，也使得 \(\mathscr{L}_{\mu}(L)\)，\(\mathscr{H}\) 成为完备的度量空间.

映射的 Hartman-Grobman 定理

如果 \(\mu\) 足够小，那么对于每个 \(\Lambda \in \mathscr{L}_{\mu}(L)\)，存在唯一的 \(h=h_{\Lambda} \in \mathscr{H}\) 使得 \(h\Lambda=Lh\). 进一步的，\(h_{\Lambda}\) 是一个关于 \(\Lambda \in \mathscr{L}_{\mu}(L)\) 连续依赖的同胚.

特别的，这说明所有 \(\Lambda \in \mathscr{L}_{\mu}(L)\) 都是同胚.

引理2.1.1. 如果 \(\mu\) 足够小，那么每个 \(\Lambda \in \mathscr{L}_{\mu}(L)\) 是一个Lipschitz连续的同胚. 其逆也是Lipschitz连续的.

引理2.1.2 设 \(P\) 是一个拓扑空间，\(Y\) 是一个完备度量空间，\(F\colon P \times Y \to Y\) 是连续的. 假设每个 \(F_p=F(p,\cdot )\colon Y\to Y\) 是一个具有收缩系数 \(k_{p}<1\) 的收缩. 如果 \(k_p\) 有一个严格小于1的上界，那么 \(F_p\) 的唯一不动点关于 \(p\) 连续依赖.

映射的 Hartman-Grobman 定理的证明 我们证明一个加强的命题： 对每一对 \(\Lambda,\Lambda'\in \mathscr{L}_{\mu}(L)\)，存在一个唯一的 \(h \in \mathscr{H}\) 使得 \(h\Lambda=\Lambda'h\). \(h\) 是一个关于 \(\Lambda,\Lambda'\) 连续依赖的同胚.

解方程 \(h\Lambda=\Lambda'h\) 等价于求一个唯一的 \(g \in C_{*}^{0}(E,E)\)，使得 \[ (\mathbf{1}+g)(L+\lambda)=(L+\lambda')(\mathbf{1}+g), \]

这等价于 \[ \lambda+g\Lambda=Lg+\lambda'(\mathbf{1}+g), \tag{5} \]

或由引理2.1.1保证 \(\Lambda ^{-1}\) 存在的情况下，\(g=[Lg+\lambda'(\mathbf{1}+g)-\lambda]\Lambda ^{-1}\). 对于 \(\forall \phi \in C_{*}^{0}(E,E)\)，定义 \(\phi_s=\pi_s \circ\phi\)，\(\phi_u=\pi_u \circ \phi\)，其中 \(\pi_s\) 和 \(\pi_u\) 是投影算子. 那么就有 \[ g_{u}=[L_u g_u+\lambda_u'(\mathbf{1}+g)-\lambda_u]\Lambda ^{-1}\tag{6a} \]

\[ g_{s}=[L_s g_s+\lambda_s'(\mathbf{1}+g)-\lambda_s]\Lambda ^{-1}.\tag{6b} \] 另一方面，（5）也等价于 \(g=L ^{-1}[g\Lambda+\lambda-\lambda'(\mathbf{1}+g)]\)，故 \[ g_u=L_u^{-1}[g_u\Lambda+\lambda_u-\lambda_u'(\mathbf{1}+g)]\tag{7a} \]

\[ g_s=L_s^{-1}[g_s\Lambda+\lambda_s-\lambda_s'(\mathbf{1}+g)].\tag{7b} \] （6a,b）和（7a,b）中任意两个都独立. 我们考虑（6b,7a）. 对于充分小的 \(\mu>0\)，（6b,7a）定义了一个映射 \(K\colon C_{*}^{0}(E,E)\to C_{*}^{0}(E,E)\)， \[ g=(g_u,g_s)\mapsto (L_u^{-1}[g_u\Lambda+\lambda_u-\lambda_u'(\mathbf{1}+g)],[L_s g_s+\lambda_s'(\mathbf{1}+g)-\lambda_s]\Lambda ^{-1}) \]

由于 \(\lambda,\lambda',g\) 都属于 \(C_{*}^{0}(E,E)\)，易见 \(K(g)\) 确实属于 \(C_{*}^{0}(E,E)\). 下面验证 \(K\) 是一个压缩映射：对所有 \(g,g' \in C_{*}^{0}(E,E)\)，我们有 \[ \begin{aligned} &\left\| K_s(g)-K_s(g') \right\|_{} \\ &=\left\| [L_s(g_s-g_s')+\lambda_s'(g-g')]\Lambda ^{-1} \right\|_{} \\ &=\sup _{x \in E} \lvert [L_s(g_s-g_s')+\lambda_s'(g-g')]\Lambda ^{-1}(x) \rvert \\ &=\sup _{y \in E} \lvert (L_s(g_s-g_s')+\lambda_s'(g-g'))(y) \rvert \\ &\leqslant \sup_{y \in E}(a\cdot \lvert g_s(y)-g_s'(y) \rvert +\mu\cdot \lvert g(y)-g'(y) \rvert ) \\ &\leqslant (a+\mu) \left\| g-g' \right\|_{}. \end{aligned} \]

类似地， \[ \begin{aligned} \left\| K_u(g)-K_u(g') \right\|_{} &\leqslant (a+a\mu)\left\| g-g' \right\|_{} \\ &\leqslant (a+\mu)\left\| g-g' \right\|_{}. \end{aligned} \]

故 \(K\) 确实为压缩映射，从而有唯一不动点 \(g=g_{\Lambda,\Lambda'} \in C_{*}^{0}(E,E)\)，且关于 \(\Lambda,\Lambda' \in \mathscr{L}_{\mu}(L)\) 连续依赖，从而 \(h_{\Lambda,\Lambda'}=\mathbf{1}+g_{\Lambda,\Lambda'}\) 也是如此.

注意原命题为 \[ h_{\Lambda,\Lambda'}\Lambda=\Lambda'h_{\Lambda,\Lambda'}. \tag{8} \]

将原命题中的 \(\Lambda\) 和 \(\Lambda'\) 对换，得 \[ h_{\Lambda',\Lambda}\Lambda'=\Lambda h_{\Lambda',\Lambda}. \tag{9} \]

将（8）和（9）合并，得 \[ h_{\Lambda',\Lambda}h_{\Lambda,\Lambda'}\Lambda=\Lambda h_{\Lambda',\Lambda}h_{\Lambda,\Lambda'}. \]

由于 \(\mathbf{1}\) 是 \(\Lambda\) 在 \(\mathbf{1}+C_{*}^{0}(E,E)\) 中的一个自共轭，由自共轭的唯一性 \[ h_{\Lambda,\Lambda'}h_{\Lambda',\Lambda}=h_{\Lambda',\Lambda}h_{\Lambda,\Lambda'}=\mathbf{1}. \]

这说明 \(h_{\Lambda,\Lambda'}\) 是同胚，证毕.

流的 Hartman 定理

设 \(\Lambda=L+\lambda\) 是 \(E\) 上的一个向量场，$^{L} $ 是关于直和分解 \(E=E^{u}\oplus E^{s}\) 的双曲同构，\(\nu\) 足够小，那么对每个 \(\Lambda \in \mathscr{L}_{\mu}(L)\) 存在唯一的 \(H=H_{\Lambda}\in \mathscr{H}\) 使得对于 \(x \in E, t\in \mathbb{R}\)，有 \(H \phi_{\Lambda}(t,x)\equiv \phi_{L}(t,Hx)\) 成立，其中 \(\phi_{L}, \phi_{\Lambda}\) 是 \(L\)- 和 \(\Lambda\)- 流. \(H_{\Lambda}\) 是一个关于 \(\Lambda \in \mathscr{L}_{\nu}(L)\) 连续依赖的同胚.

注意：这里 $^{L} $ 是双曲同构，而不是 \(L\) 是双曲同构.

证明 考虑映射 \(\tilde{\phi}_{L}=\phi_{L}(1,\cdot )=\mathrm{e}^{L}\) 和 \(\tilde{\phi}_{\Lambda}=\phi_{\Lambda}(1,\cdot )\). 容易验证映射 \(\Lambda \mapsto \tilde{\phi}_{\Lambda}\) 是连续的，因此对于足够小的 \(\nu>0\)，由映射的 Hartman 定理知，存在足够小的 \(\mu\)，使得 \(\Lambda \in \mathscr{L}_{\nu}(L) \Rightarrow \tilde{\phi}_{\Lambda}\in \mathscr{L}_{\mu}(\mathrm{e}^{L} )\). 相应地存在唯一的 \(h \in \mathscr{H}\) 使得 \(\tilde{\phi}_{L}h=h \tilde{\phi}_{\Lambda}\).

我们断言 \(h\) 满足 \(h \phi_{\Lambda}(t,x)\equiv \phi_{L}(t,hx)\) 从而 \(h=H\) 满足定理. 这等价于证明 \[ \phi_{L}(t,h\phi_{\Lambda}(-t,\cdot ))\equiv h. \tag{10} \]

观察到 \(\phi_{L}(t,h\phi_{\Lambda}(-t,\cdot ))\in \mathscr{H}\)，对 \(\tilde{\phi}_{L}()=()\tilde{\phi}_{\Lambda}\) 应用映射的 Hartman 定理的唯一性部分即得（10）成立. 任何 \(\phi_{L}\) 与 \(\phi_{\Lambda}\) 之间的等价关系当然也是 \(\tilde{\phi}_{L}\) 与 \(\tilde{\phi}_{\Lambda}\) 之间的等价关系. 因此 \(H=h\) 唯一，是一个同胚，并且关于 \(\Lambda \in \mathscr{L}_{\nu}(L)\) 连续依赖.

动力系统就是抽象的“流”，点的流动就形成了“轨道”. 流的 Hartman-Grobman 定理就是判断非线性系统零解稳定性中用到的定理. 仍考虑系统（4），\(Df(\mathbf{0})\) 满足 \(\mathrm{e}^{Df(\mathbf{0})}\) 是一个双曲线性同构. 固定 \(Df(\mathbf{0})\)，在流的 Hartman-Grobman 定理中确定相应的 \(\nu\)，再取定理中的 \(E\) 为原点的一个充分小的领域 \(U\)，使得在原点的邻域内，\(f-Df(\mathbf{0}) \in \mathscr{L}_{\nu}(L)\). Hartman-Grobman 定理告诉我们存在唯一的同胚 \(H \in \mathscr{H}\)，使得 \(H \phi_{\Lambda}(t,x)\equiv \phi_{L}(t,Hx)\) 成立，即系统（3）和其在原点的线性化系统（5）局部拓扑共轭.

最后，我们来说明 Hartman-Grobman 定理给出的拓扑共轭 \(h\) 一般不能是 Lipschitz 同胚.

一个例子

设 \(A_{\alpha}\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) 表示线性映射 \[ A_{\alpha}(x)=\alpha x. \]

若 \(0<\alpha<1, 0<\beta<1\)，令 \(h(x)=x^{\ln \beta/\ln \alpha},x\geqslant 0\)，再对 \(h\) 作奇延拓. 则 \(h(x)\) 是一个 \(\mathbb{R}\) 上的同胚，且 \(hA_{\alpha}=A_{\beta}h\). 然而，若 \(\alpha \neq \beta\)，则不存在 Lipschitz 同胚 \(h\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) 满足 \(h A_{\alpha}=A_{\beta} h\).

事实上，假设存在这样的同胚 \(h\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\). 如果 \(h(0)\neq 0\)，则由 \(h(\alpha x)=\beta h(x)\) 知 \(\beta=1\)，再由 \(h\) 是单射知 \(\alpha=1\). 这与 \(\alpha\neq \beta\) 矛盾.

如果 \(h(0)=0\)，显然 \(\alpha \beta\neq 0\). 有如下几式成立 - \(h(\alpha^{n}x)/(\alpha^{n}x)=(\beta^{n}h(x))/(\alpha^{n}x)\)； - \(h ^{-1} (\beta^{n}y)/(\beta^{n}y)=(\alpha^{n}h ^{-1}(y))/(\beta^{n} y)\)； - $h(^{-n}x)/({-n}x)=(^{n}h{-1}(x))/(^{n}x) $； - \(h ^{-1}(\beta^{-n}y)/(\beta^{-n}y)=(\beta^{n} h ^{-1}(y))/(\alpha^{n}y)\).

分析原点附近性态可得 \(h\) 和 \(h ^{-1}\) 不能同时为 Lipschitz 的，即 \(h\) 不能是Lipschitz 同胚.