常微分方程（11）
常微分方程拾遗
我是个没有感情的抄书机器~
Green 函数相关
二阶线性齐次常微分方程的跃度
首先我们知道任何一个二阶线性齐次常微分方程可以整理成如下形式： \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[p(x)\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\right]+q(x)y(x)=0, \quad a<x<b. \] 考虑非奇异情形，即假设 \(p(x)\)，\(p'(x)\) 和 \(q(x)\) 都是定义域 \(a<x<b\) 上的实连续函数，\(p(x)\) 无零点. 因此该方程的两个线性无关解 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 都在定义域 \(a<x<b\) 上连续. 而对非齐次项为 \(\delta\) 函数的二阶线性常微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[p(x)\frac{\mathrm{d}g(x;t)}{\mathrm{d}x}\right]+q(x)g(x;t)=\delta(x-t), \quad a<x<b, a<t<b \] 当 \(x\neq t\) 时，它的解由 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 叠加得到： \[ \begin{aligned} g(x;t)&= \begin{cases} c_1(t)y_1(x)+c_2(t)y_2(x) \equiv g_{<}, \quad x<t \\ d_1(t)y_1(x)+d_2(t)y_2(x) \equiv g_{>}, \quad x>t \end{cases} \\ &= g_{<}+(g_{>}-g_{<})\eta(x-t), \\ \end{aligned} \]
代回原方程，整理得到对于任何检验函数 \(f(x)\)， \[ \left[p'(t)(g_{>}(t)-g_{<}(t))+2p(t) \left( \frac{\mathrm{d}g_{>}}{\mathrm{d}x}-\frac{\mathrm{d}g_{<}}{\mathrm{d}x}\right)_{x=t} -1\right]f(t)= p(t)(g_{>}(t)-g_{<}(t))f'(t). \] 由 \(f(x)\) 的任意性，得 \(g(x;t)\) 在 \(x=t\) 处连续，而 \(\frac{\mathrm{d}g(x;t)}{\mathrm{d}x}\) 在 \(x=t\) 处有跃度 \(\frac{1}{p(t)}\)，即 \[ \frac{\mathrm{d}g(x;t)}{\mathrm{d}x}\bigg |^{x=t+}_{x=t-}=\frac{1}{p(t)} \]
常微分方程初值问题的 Green 函数
初值问题 \[ \frac{\mathrm{d}^{2}g}{\mathrm{d}t^{2}}=\delta(t-\tau), \quad t>0, \tau>0, \] \[ g|_{t=0}=0, \quad \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t=0}=0 \] 对原方程积分两次得到通解 \[ g(t;\tau)=(t-\tau)\eta(t-\tau)+\alpha(\tau)t+\beta(\tau). \]
由初值条件定出 \[ g(t;\tau)=(t-\tau)\eta(t-\tau). \]
那么初值问题 \[ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}=f(t), \quad t>0, \] \[ y(0)=0, \quad y'(0)=0. \] 就有解 \[ y(t)=\int_{0}^{\infty} g(t;\tau)f(\tau) \mathrm{d}\tau=\int_{0}^{t} (t-\tau)f(\tau) \mathrm{d}\tau. \]
初值问题 \[ \frac{\mathrm{d}^{2}g(t;\tau)}{\mathrm{d}t^{2}}+k^{2}g(t;\tau)=\delta(t-\tau), \quad t>0, \tau >0, \] \[ g(0;\tau)=0, \quad \frac{\mathrm{d}g(t;\tau)}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t=0}=0. \]
有解 \[ g(t;\tau)=\frac{1}{k} \sin k(t-\tau)\eta(t-r)+C(r)\sin kt+D(r)\cos kt. \]
初值问题 \[ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}+k^{2}y(t)=f(t), \quad t>0, \] \[ y(0)=0, \quad y'(0)=0 \] 有解 \[ y(t)=\frac{1}{k}\int_{0}^{t} f(\tau)\sin k(t-\tau) \mathrm{d}\tau. \]
一般的初值问题 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ p(t) \frac{\mathrm{d}g(t;\tau)}{\mathrm{d}t}\right]+q(t) g(t;\tau)=\delta(t-\tau), \quad t>0,\tau>0; \] \[ g(0;\tau)=0, \quad \frac{\mathrm{d}g(t;\tau)}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t=0}=0, \] 其中 \(p(t)\),\(p'(t)\) 和 \(q(t)\) 都是 \([0,\infty)\) 上的实连续函数， \(p(t)\) 无零点.
定义 \(y_1(t)\) 和 \(y_2(t)\) 是相应齐次线性方程的两个线性无关解. Wronsky 行列式 \[ W[y_1(t),y_2(t)]\equiv \begin{vmatrix} y_1(t) & y_2(t) \\ y_1'(t) & y_2'(t) \\ \end{vmatrix} \neq 0 \]
原方程的解为 \[ g(t;\tau)=\frac{1}{p(\tau)}\frac{y_1(\tau)y_2(t)-y_2(\tau)y_1(t)}{W[y_1(\tau),y_2(\tau)]}\eta(t-\tau). \] 实际上可以去掉 \(t,\tau>0\) 的限制，补充条件 \[ p(t)=p(-t), \quad q(t)=q(-t), \] 并将初值条件变为 \[ g(t;\tau)|_{t<\tau}=0, \quad \frac{\mathrm{d}g(t;\tau)}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t<\tau}=0. \]
进一步，初值问题 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ p(t) \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}\right]+q(t) y(t)=f(t), \quad t>0, \] \[ g(0;\tau)=0, \quad y'(0)=0 \] 有解 \[ y(t)=\int_{0}^{t} g(t;\tau)f(\tau) \mathrm{d}\tau. \]
更一般的，初值问题 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ p(t) \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}\right]+q(t) y(t)=f(t), \quad t>0, \] \[ g(0;\tau)=A, \quad y'(0)=B \]
有解（需要用到 \(g(t;\tau)=g(-\tau;-t)\)）
\[ \begin{aligned} y(t)&=\int_{0}^{\infty} g(t;\tau)f(\tau) \mathrm{d}\tau + \left\{ p(r)\left[ y(\tau) \frac{\mathrm{d}g(t;\tau)}{\mathrm{d}\tau}-g(t;\tau)\frac{\mathrm{d}y(\tau)}{\mathrm{d}\tau}\right] \right\}^{\infty}_{\tau=0} \\ &=\int_{0}^{t} g(t;\tau) f(\tau) \mathrm{d}\tau-p(0)\left[ A \frac{\mathrm{d}g(t;\tau)}{\mathrm{d}\tau}-Bg(t;\tau)\right]_{\tau=0} \end{aligned} \]
常微分方程边值问题的 Green 函数
边值问题 \[ \frac{\mathrm{d}^{2}g(x;\xi)}{\mathrm{d}x^{2}}=\delta(x-\xi), \quad a<x,\xi<b, \] \[ g(a,\xi)=0, \quad g(b;\xi)=0. \]
有解 \[ g(x;\xi)=(x-\xi)\eta(x-\xi)-\frac{b-\xi}{b-a}(x-a). \]
边值问题 \[ \frac{\mathrm{d}^{2}g(x;\xi)}{\mathrm{d}x^{2}}+k^{2} g(x;\xi)=\delta(x-\xi), \quad a<x,\xi<b, \] \[ g(a;\xi)=0, \quad g(b;\xi)=0. \]
有解 \[ g(x;\xi)= \begin{cases} \displaystyle -\frac{1}{k}\frac{\sin k(b-\xi)}{\sin k(b-a)}\sin k(x-a), \quad a<x<\xi, \\ \displaystyle -\frac{1}{k}\frac{\sin k(\xi-a)}{\sin k(b-a)} \sin k(b-x), \quad \xi<x<b. \end{cases} \]
一般的边值问题
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ p(x) \frac{\mathrm{d}g(x;\xi)}{\mathrm{d}x}\right]+q(x) g(x;\xi)=\delta(x-\xi), \quad a<x,\xi<b. \] \[ g(a;\xi)=0, \quad g(b;\xi)=0 \]
有解 \[ \begin{aligned} g(x;\xi)=&-\frac{1}{p(\xi)}\frac{y_2(b)y_1(\xi)-y_1(b)y_2(\xi)}{y_1(b)y_2(a)-y_1(a)y_2(b)}\frac{y_2(a)y_1(x)-y_1(a)y_2(x)}{W[y_1(\xi),y_2(\xi)]} \\ &+\frac{1}{p(\xi)}\frac{y_1(\xi)y_2(x)-y_2(\xi)y_1(x)}{W[y_1(\xi),y_2(\xi)]}\eta(x-\xi). \end{aligned} \]
从该表达式或者构造新的 Green 函数可以得到 \[ g(x;\xi)=g(\xi;x). \]
边值问题 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ p(x) \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\right]+q(x) y(x)=f(x), \quad a<x<b, \] \[ y(a)=A, \quad y(b)=B, \] 有解 \[ \begin{aligned} y(x)&=\int_{a}^{b} g(x;\xi)f(\xi) \mathrm{d}\xi+\left\{p(\xi)\left[ y(\xi)\frac{\mathrm{d}g(x;\xi)}{\mathrm{d}\xi}-g(x;\xi)\frac{\mathrm{d}y(\xi)}{\mathrm{d}\xi}\right]\right\}^{\xi=b}_{\xi=a} \\ &=\int_{a}^{b} g(x;\xi)f(\xi) \mathrm{d}\xi +Bp(b)\frac{\mathrm{d}g(x;\xi)}{\mathrm{d}\xi}\bigg|_{\xi=b}-Ap(a)\frac{\mathrm{d}g(x;\xi)}{\mathrm{d}\xi}\bigg|_{\xi=a} \end{aligned} \]
无界区间上的边值问题 \[ \frac{\mathrm{d}^{2}g(x;\xi)}{\mathrm{d}x^{2}}-k^{2}g(x;\xi)=\delta(x-\xi), \quad -\infty<x,\xi<\infty, \] \[ g(x;\xi)\big|_{x\to \pm \infty} 有界， \] 有解（其中 \(k>0\)） \[ g(x;\xi)=-\frac{1}{2k}\mathrm{e}^{-k\lvert x-\xi \rvert } \]
无界区间上的边值问题 \[ \frac{\mathrm{d}^{2}y(x)}{\mathrm{d}x^{2}}-k^{2}y(x)=f(x), \quad -\infty<x<\infty, \] \[ y(x)\big|_{x\to \pm \infty} 有界， \] 有解（其中 \(k>0\)） \[ y(x)=-\frac{1}{2k}\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-k\lvert x-\xi \rvert } f(\xi) \mathrm{d}\xi \]