常微分方程（10）

首次积分

首次积分的定义

考虑一般的 \(n\) 阶微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}x}=f_i(x,y_1,\cdots ,y_n)\quad(i=1,\cdots,n),\tag{10.14} \] 其中右端函数 \(f_1,\cdots ,f_n\) 在某个区域 \(D \subset \mathbb{R}^{n+1}\) 内对 \((x,y_1,\cdots ,y_n)\) 是连续的，而且对 \(y_1,\cdots ,y_n\) 是连续可微的.

设函数 \(V=V(x,y_1,\cdots ,y_n)\) 在 \(D\) 的某一子区域 \(G\) 内连续，而且对 \(x,y_1,\cdots ,y_n\) 是连续可微的. 又设 \(V(x,y_1,\cdots ,y_n)\) 不是常数，但沿着微分方程（10.14）在区域 \(G\) 内的任一积分曲线 \[ \Gamma\colon \quad y_1=y_1(x),\cdots ,y_n=y_n(x) \quad (x \in J) \] 函数 \(V\) 取常值；亦即 \[ V(x,y_1(x),\cdots ,y_n(x))=常数 \quad (x \in J) \] 或当 \((x,y_1,\cdots ,y_n) \in \Gamma\) 时，有 \[ V(x,y_1,\cdots ,y_n)=常数， \] 这里的常数随积分曲线 \(\Gamma\) 而定. 则称 \[ V(x,y_1,\cdots ,y_n)=C \tag{10.15} \] 为（10.14）在区域 \(G\) 的首次积分，其中 \(C\) 是一个任意常数.

首次积分的定义可以自然地移植到高阶微分方程.

首次积分的性质

定理 10.1 设函数 \(\Phi(x,y_1,\cdots ,y_n)\) 在区域 \(G_1\) 内是连续可微的，而且它不是常数. 则 \[ \Phi(x,y_1,\cdots ,y_n)=C \tag{10.18} \] 是微分方程（10.14）在区域 \(G_1\) 内的首次积分的充要条件为： \[ \frac{\partial \Phi}{\partial x}+\frac{\partial \Phi}{\partial y_1}f_1+\cdots +\frac{\partial \Phi}{\partial y_n}f_n=0 \tag{10.19} \] 是关于变量 \((x,y_1,\cdots ,y_n)\in G_1\) 的一个恒等式.

定理 10.2 若已知（10.14）的一个首次积分（10.18），则可把微分方程（10.17）降低一阶.

证：注意到首次积分 \(\Phi\) 的偏导数不能都恒等于0，设 \(\displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial y_n}\neq 0\). 可以利用隐函数定理由首次积分（10.18）解出 \[ y_n=g(x,y_1,\cdots ,y_{n-1},C), \tag{10.23} \] 把它代入（10.14）的前 \(n-1\) 个式子，消去 \(y_n\). 证明得到的 \(n-1\) 阶的微分方程的解加上 \(y_n=g(x,u_1(x),\cdots ,u_{n-1}(x),C)\) 就是（10.14）的解，只需证明满足（10.14）的最后一个等式，结合首次积分的充要条件，就得到所需结论.

设（10.14）有 \(n\) 个首次积分 \[ \Phi_i(x,y_1,\cdots ,y_n)=C_i \tag{10.28} \] \((i=1,\cdots ,n)\). 如果在某区域 \(G_1\) 内它们的 Jacobi 行列式 \[ \frac{D(\Phi_1,\cdots ,\Phi_n)}{D(y_1,\cdots ,y_n)}\neq 0, \tag{10.29} \] 则称它们在区域 \(G_1\) 内为互相独立的.

定理 10.3 设已知（10.14）在区域 \(G_1\) 内的 \(n\) 个互相独立的首次积分（10.28）. 则可由它们得到（10.14）在区域 \(G_1\) 内的通解 \[ y_1=\varphi_1(x,C_1,\cdots ,C_n),\cdots ,y_n=\varphi_n(x,C_1,\cdots ,C_n), \tag{10.30} \] 其中 \(C_1,\cdots ,C_n\) 为 \(n\) 个任意常数（在允许的范围内）；而且上述通解表示了（10.14）在 \(G_1\) 内的所有解.

证：（10.29）成立，可以用隐函数定理从（10.28）解出 \(y_1,\cdots ,y_n\). 令其表达式为（10.30）. 将其代入（10.28），然后对 \(x\) 求导，并且利用首次积分的充要条件，就得到 \[ \varphi_1'=f_1,\cdots ,\varphi_n'=f_n, \] 这说明（10.30）确实是（10.14）的解.

对（10.28）关于 \(C_j\) 求导，可以得到 \[ \frac{D(\varphi_1,\cdots ,\varphi_n)}{D(C_1,\cdots ,C_n)}=\left[ \frac{D(\Phi_1,\cdots ,\Phi_n)}{D(y_1,\cdots ,y_n)}\right]^{-1} \neq 0, \] 这说明 \(C_1,\cdots ,C_n\) 是互相独立的.

任取（10.14）在区域 \(G_1\) 内的解，考虑其在一点的初值，然后用解的唯一性定理推出解是（10.30）. 证毕.

反之若已知（10.14）的通解，则由它可得到 \(n\) 个互相独立的首次积分.

类似于秩定理，如果已知（10.14）的 \(k(1\leqslant k\leqslant n)\) 个互相独立的首次积分 \[ V_i(x,y_1,\cdots ,y_n)=C_i \quad(i=1,\cdots ,k). \tag{10.35} \] 即矩阵 \(\displaystyle \left( \frac{\partial V_i}{\partial y_j}\right)_{k \times n}\) 的秩等于 \(k\). 则利用这 \(k\) 个互相独立的首次积分（10.35）可以把（10.14）降低 \(k\) 阶.

如果给定首次积分（10.35），又设 \(H(z_1,\cdots ,z_k)\) 是连续可微的函数，而且它不是常数，则 \[ H(V_1(x,y_1,\cdots ,y_n),\cdots ,V_k(x,y_1,\cdots ,y_n))=C \] 是（10.14）的一个首次积分. （但是好像并不能保证它与诸 \(V_i\) 互相独立）

首次积分的存在性

定理 10.4 设 \(P_0=(x_0,y_1^{0},\cdots ,y_n^{0})\in G\). 则存在 \(P_0\) 点的一个领域 \(G_0 \subset G\)，使得微分方程（10.14）在区域 \(G_0\) 内有 \(n\) 个互相独立的首次积分.

证：取 \(P_0\) 点附近的初值条件. 然后利用隐函数定理得到 \(n\) 个互相独立的首次积分.

定理 10.5 微分方程（10.14）最多只有 \(n\) 个独立的首次积分.

定理 10.6 设（10.28）是微分方程（10.14）在区域 \(G_0\) 内的 \(n\) 个独立的首次积分. 则在区域 \(G_0\) 内微分方程（10.14）的任何首次积分 \[ V(x,y_1,\cdots ,y_n)=C \] 可以用（10.28）来表达，亦即 \[ V(x,y_1,\cdots ,y_n)=h[\Phi_1(x,y_1,\cdots ,y_n),\cdots ,\Phi_n(x,y_1,\cdots ,y_n)], \tag{10.41} \] 其中 \(h\) 是某个连续可微的函数.

证：注意到 \[ J:=\frac{\partial (\Phi_1,\cdots ,\Phi_n)}{\partial (y_1,\cdots ,y_n)}\neq 0, \] 再次由隐函数定理得到， \[ y_i=y_i(x,\Phi_1,\cdots ,\Phi_n),i=1,\cdots ,n, \] 设 \(V\) 是任意一个首次积分，定义函数 \(H\) \[ H(x,\Phi_1,\cdots ,\Phi_n) :=V(x,y_1,\cdots ,y_n). \] 下证 \(H\) 与 \(x\) 无关. 计算 \[ \frac{\partial H}{\partial x}=\frac{\partial V}{\partial x}+\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial y_i}\frac{\partial y_i}{\partial x}. \] 然后由隐函数定理 \[ \frac{\partial y_i}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial (\Phi_1,\cdots ,\Phi_i,\cdots ,\Phi_n)}{\partial (y_1,\cdots ,x,\cdots ,y_n)}. \]

根据行列式展开的规律可以得到 \[ \frac{\partial H}{\partial x}=\frac{\partial V}{\partial x}-\frac{1}{J}\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial y_i} \frac{\partial (\Phi_1,\cdots ,\Phi_i,\cdots ,\Phi_n)}{\partial (y_1,\cdots ,x,\cdots ,y_n)}=\frac{1}{J}\frac{\partial (V,\Phi_1,\cdots ,\Phi_n)}{\partial (x,y_1,\cdots ,y_n)} \] 利用首次积分的充要条件 \[ \frac{\partial V}{\partial x}+\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial y_i}f_i=0, \] 可以发现上面的行列式为零（对 \(V\) 和诸 \(\Phi\) 都用充要条件，并看成一个有非零解 \((1,f_1,\cdots ,f_n)\) 的线性方程组），所以 \(\displaystyle \frac{\partial H}{\partial x}=0\)，得证.

也就是 \(V=H(\Phi_1,\cdots ,\Phi_n)\).