边值问题
Sturm 比较定理
考虑二阶线性微分方程 其中 和 在区间 上是连续的.
引理9.1：（9.1）的任何非零解在区间 内的零点都是孤立的.
由解的唯一性易知.
定理9.1：设 和 是（9.1）的两个非零解，则
- 它们线性无关，当且仅当它们有相同的零点； -
它们线性无关，当且仅当它们的零点互相交错.
证；利用 Wronsky 行列式和 Liouville
公式，考虑相邻零点处的导数值即可.
定理9.2（Sturm 比较定理）：两个齐次线性微分方程
和 这里系数函数 和
在区间 上是连续的，而且假设不等式 成立. 又设
是方程（9.6）的一个非零解，而且
和 是它的两个相邻的零点.
则（9.7）的任何非零解 在
和 之间至少有一个零点 （）.
如果（9.8）变为 那么可以加强为
证：关键是构造出函数
并讨论 在 上恒正或恒负.
推论：方程（9.1）的任何两个线性无关的解的零点是相互交错的.
（令 ）
设
是（9.1）的一个非零解. 若 在区间 上最多只有一个零点，则称它在
上是非振动的；否则，称它在 上是振动的. 如果 在区间 上有无限个零点，则称它在 上是无限振动的.
判别法1：设（9.1）中的系数函数 则它的一切非零解都是非振动的. （与 的非零解 比较即可）
判别法2：设微分方程 其中 在区间
上是连续的，而且满足不等式 则（9.13）的任何非零解 在区间
上是无限振动的；而且它的任何两个相邻零点的间距不大于 .
由方程 的非零解 知判别法2不能减弱为
与判别法相对偶的有：如果
满足不等式 其中常数 .
则它的任何非零解
的相邻零点的间距不小于常数
证明时与
的非零解 且
可以任意跑比较.
S-L 边值问题的特征值
考虑比较一般的二阶齐次线性微分方程
其中
是一个参数，系数函数 和
在区间 上是连续的， 是可微的，而且 和 . 另外，设边值条件 其中常数 满足条件
上述形式的边值问题通常称为 Sturm-Liouville 问题. 设
时边值问题有非零解 .
则称
为该问题的特征值，
为相应的特征函数，注意那么对于任何常数 ， 仍是相应的特征函数.
作 Prüfer
变换
（9.16）变为
又（9.16）即
而边界条件变为
将（9.16）化成如下形式： 其中 在区间 上连续，而且把边值条件（9.17）化成
这里规定常数 .
搞不定了，到时候问老师.
希望存在（9.20）的形如 的解，满足初值条件
想让它也满足（9.21）的第二式. 令 其中 由（9.21）的第一式，有 这里 是某个整数.
满足第二式，只要使 满足条件
显然满足
且在（9.23）中取 ，即 .
引理 9.2：令 . 则函数
在区间
上是连续的，而且是严格上升的.
证：（9.25）得到 的变分方程为
又由 知
而方程（9.27）关于 是一阶线性的.
因此，再利用初值条件（9.28），得到 其中
易知
不恒为零（）. 因此上式可见 引理证毕.
引理 9.3：当 时，，并且 证：先利用（9.25）证明 . 那么就有 .
考虑到 ，在 平面上取两点 和 . 如果积分曲线 与直线第一次交于
，则斜率 . 又注意到由（9.25） 考虑到要让 ，想让 从而导出矛盾. 而 ，故只要
其中 ，就有积分曲线不可能与 相交，解出 的取值. 这说明当 时，.
也可以参考
(万年老坑)常微分方程学习笔记(10)
https://zhuanlan.zhihu.com/p/151401565
引理 9.4：当 时， .
证：关键是注意到 如果
有界，令 ，可以预想中间式子积分其实应该很小，分
的零点附近（注意只有有限个零点）和剩下的部分分别计算积分，导出矛盾.
定理 9.3：S-L
边值问题有无限多个（简单的）特征值，而且可排列如下： 其中
习题 9-2 第二题为什么不与定理矛盾？
特征函数系的正交性
S-L 边值问题 和 其中
是参数，而函数 在区间 是连续；又设常数
和 满足不等式
考虑对于每个特征值
的特征函数 . 当
时， 也是特征函数.
引理 9.4：对应于每个特征值，S-L
边值问题有且只有一个线性无关的特征函数.
考虑两个解在 处的 Wronsky
行列式，直接得到它们线性相关.
下面令
引理 9.5 特征函数系（9.35）在区间
上组成一个正交系，即
证：关键是得到 然后积分并利用边值条件.
定理 9.6： 在 上有 个零点.
注意到 对应的 不可能取到某个
至少两次，否则在相邻零点处导数值异号，但在 处导数值应该为 ，故这是不可能的.
定理 9.7：如果 在区间 上是 Riemann
可积的，而且满足 那么
在连续点处恒等于零.
证明分几步（下面都是一般形式的 S-L 边值问题）
可以参考
常微分方程边值问题和Sturm比较理论引论
https://cadal.edu.cn/cardpage/bookCardPage?ssno=06504331&source=card
的P126-P131.
定理 9.7 说明特征函数系（9.35）在Riemann可积的函数空间
中是一个完全的正交系. 在区间
上可以考虑可积函数
关于特征函数系（9.35）的（广义）Fourier展开 其中 而正数 可以进一步证明下述结论.
定理 9.8：设函数 在区间 上满足 Dirichlet
条件，则它的广义Fourier 级数（9.36）收敛到它自己.
一些更细致的讨论见
常微分方程边值问题和Sturm比较理论引论
https://cadal.edu.cn/cardpage/bookCardPage?ssno=06504331&source=card
的P132-P143.
非齐次方程的 S-L 边值问题
当 不是相应齐次方程的
S-L 边值问题的特征值时，它有且只有一个解；而当 等于某个特征值 时， 它有解的充要条件为 其中
为相应于特征值
的特征函数.
证：当
不是特征值时，
参考