常微分方程（9）
边值问题
Sturm 比较定理
考虑二阶线性微分方程 \[ y''+p(x)y'+q(x)y=0 \tag{9.1} \] 其中 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 在区间 \(J\) 上是连续的.
引理9.1：（9.1）的任何非零解在区间 \(J\) 内的零点都是孤立的.
由解的唯一性易知.
定理9.1：设 \(y=\varphi_1(x)\) 和 \(y=\varphi_2(x)\) 是（9.1）的两个非零解，则 - 它们线性无关，当且仅当它们有相同的零点； - 它们线性无关，当且仅当它们的零点互相交错.
证；利用 Wronsky 行列式和 Liouville 公式，考虑相邻零点处的导数值即可.
定理9.2（Sturm 比较定理）：两个齐次线性微分方程 \[ y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{9.6} \] 和 \[ y''+p(x)y'+R(x)y=0 \tag{9.7} \] 这里系数函数 \(p(x),Q(x)\) 和 \(R(x)\) 在区间 \(J\) 上是连续的，而且假设不等式 \[ R(x)\geqslant Q(x) \quad (x \in J) \tag{9.8} \] 成立. 又设 \(y=\varphi(x)\) 是方程（9.6）的一个非零解，而且 \(x_1\) 和 \(x_2\) 是它的两个相邻的零点. 则（9.7）的任何非零解 \(y=\psi(x)\) 在 \(x_1\) 和 \(x_2\) 之间至少有一个零点 \(x_0\)（\(x_0 \in [x_1,x_2]\)）.
如果（9.8）变为 \[ R(x)>Q(x) \tag{9.8*} \] 那么可以加强为 \(x_0 \in (x_1,x_2)\)
证：关键是构造出函数 \(v(x)=\psi(x)\varphi'(x)-\varphi(x)\psi'(x)\) 并讨论 \(v'(x)+p(x)v(x)\) 在 \([x_1,x_2]\) 上恒正或恒负.
推论：方程（9.1）的任何两个线性无关的解的零点是相互交错的. （令 \(R(x)=Q(x)\)）
设 \(y=\varphi(x)\) 是（9.1）的一个非零解. 若 \(y=\varphi(x)\) 在区间 \(J\) 上最多只有一个零点，则称它在 \(J\) 上是非振动的；否则，称它在 \(J\) 上是振动的. 如果 \(y=\varphi(x)\) 在区间 \(J\) 上有无限个零点，则称它在 \(J\) 上是无限振动的.
判别法1：设（9.1）中的系数函数 \[ q(x)\leqslant 0 \quad(x \in J) \] 则它的一切非零解都是非振动的. （与 \(y''+p(x)y'=0\) 的非零解 \(y=\psi(x) \equiv 1\) 比较即可）
判别法2：设微分方程 \[ y''+Q(x)y=0 \tag{9.13} \] 其中 \(Q(x)\) 在区间 \(a\leqslant x<\infty\) 上是连续的，而且满足不等式 \[ Q(x)\geqslant m>0 \quad(m 是常数) \] 则（9.13）的任何非零解 \(y=\varphi(x)\) 在区间 \([a,\infty)\) 上是无限振动的；而且它的任何两个相邻零点的间距不大于 \(\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{m}}\).
由方程 \[ y''+\frac{1}{4x^{2}}y=0 \quad(1\leqslant x<\infty) \] 的非零解 \[ y=\sqrt{x}(C_1+C_2 \ln x) \] 知判别法2不能减弱为 \(Q(x)>0\quad(a\leqslant x<\infty)\)
与判别法相对偶的有：如果 \(Q(x)\) 满足不等式 \[ Q(x)\leqslant M \quad(a\leqslant x<\infty) \] 其中常数 \(M>0\). 则它的任何非零解 \(y=\varphi(x)\) 的相邻零点的间距不小于常数 \(\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{M}}\)
证明时与 \(y''+My=0\) 的非零解 \(y=\sin [\sqrt{M}(x-c)]\) 且 \(c\) 可以任意跑比较.
S-L 边值问题的特征值
考虑比较一般的二阶齐次线性微分方程 \[ [p(x)y']'+[q(x)+\lambda r(x)]y=0 \tag{9.16} \]
其中 \(\lambda\) 是一个参数，系数函数 \(p(x),q(x)\) 和 \(r(x)\) 在区间 \(a\leqslant x\leqslant b\) 上是连续的，\(p(x)\) 是可微的，而且 \(p(x)>0\) 和 \(r(x)>0\). 另外，设边值条件 \[ Ky(a)+Ly'(a)=0,\quad My(b)+Ny'(b)=0, \tag{9.17} \] 其中常数 \(K,L,M,N\) 满足条件 \[ K^{2}+L^{2}>0, \quad M^{2}+N^{2}>0. \]
上述形式的边值问题通常称为 Sturm-Liouville 问题. 设 \(\lambda= \lambda_0\) 时边值问题有非零解 \(y=\varphi_0(x)\). 则称 \(\lambda_0\) 为该问题的特征值，\(y=\varphi_0(x)\) 为相应的特征函数，注意那么对于任何常数 \(C \neq 0\)，\(y=C \varphi_0(x)\) 仍是相应的特征函数.
作 Prüfer 变换[1] \[ y(x)=\rho(x) \sin \theta(x), \quad p(x)y'(x)=\rho(x) \cos \theta(x) \] （9.16）变为 \[ \theta'(x)= \frac{\cos ^{2}\theta(x)}{p(x)}+[q(x)+\lambda r(x)] \sin ^{2}\theta(x), \] \[ \rho'(x)= \rho(x)[\frac{1}{p(x)}-q(x)- \lambda r(x)] \cos \theta(x) \sin \theta(x); \]
又（9.16）即 \[ y''(x)=-\frac{\rho(x)}{p(x)}[q(x)+\lambda r(x)] \sin \theta(x)- \frac{\rho(x)p'(x)}{p^{2}(x)} \cos \theta(x) \]
而边界条件变为 \[ y(a) \cos \theta_a-p(a)y'(a) \sin \theta_a=0, \quad y(b) \cos \theta_b- p(b)y'(b) \sin \theta_b=0. \]
将（9.16）化成如下形式： \[ y''+(\lambda+q(x))y=0, \tag{9.20} \] 其中 \(q(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上连续，而且把边值条件（9.17）化成 \[ y(0)\cos \alpha - y'(0) \sin \alpha=0, \quad y(1)\cos \beta- y'(1) \sin \beta=0, \tag{9.21} \] 这里规定常数 \(0\leqslant \alpha<\pi, 0<\beta\leqslant \pi\).
搞不定了，到时候问老师.
希望存在（9.20）的形如 \(y=\varphi(x,\lambda)\) 的解，满足初值条件 \[ \varphi(0,\lambda)= \sin \alpha, \quad \varphi'(0,\lambda)=\cos \alpha. \tag{9.22} \] 想让它也满足（9.21）的第二式. 令 \[ \varphi(x,\lambda)= \rho(x,\lambda)\sin \theta(x,\lambda), \quad \varphi'(x,\lambda)=\rho(x,\lambda) \cos \theta(x,\lambda), \] 其中 \[ \begin{cases} \rho(x,\lambda)= \sqrt{[\varphi(x,\lambda)]^{2}+[\varphi'(x,\lambda)]^{2}}\quad (>0), \\ \theta(x,\lambda)= \arctan \frac{\varphi(x,\lambda)}{\varphi'(x,\lambda)} \quad (0\leqslant x\leqslant 1). \end{cases} \] 由（9.21）的第一式，有 \[ \theta(0,\lambda)= \arctan \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\alpha+j\pi, \tag{9.23} \] 这里 \(j\) 是某个整数. 满足第二式，只要使 \(\theta=\theta(x,\lambda)\) 满足条件 \[ \theta(1,\lambda)= \beta+ k\pi, \tag{9.24} \]
\(\theta(x)\) 显然满足 \[ \theta'=\cos ^{2}\theta+[\lambda+q(x)]\sin ^{2}\theta \tag{9.25} \]
且在（9.23）中取 \(j=0\)，即 \(\theta(0,\lambda)=\alpha\).
引理 9.2：令 \(\omega(\lambda)=\theta(1,\lambda)\). 则函数 \(\omega(\lambda)\) 在区间 \(-\infty<\lambda<\infty\) 上是连续的，而且是严格上升的.
证：（9.25）得到 \(\lambda\) 的变分方程为 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial \theta}{\partial \lambda}= [\lambda+q(x)-1] \sin 2\theta \frac{\partial \theta}{\partial \lambda} + \sin ^{2} \theta, \tag{9.27} \]
又由 \(\theta(0,\lambda)=\alpha\) 知 \[ \frac{\partial \theta}{\partial \lambda}(0,\lambda)=0. \tag{9.28} \] 而方程（9.27）关于 \(\displaystyle \frac{\partial \theta}{\partial \lambda}\) 是一阶线性的. 因此，再利用初值条件（9.28），得到 \[ \frac{\partial \theta}{\partial \lambda}(x,\lambda)= \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{\int_{t}^{x} E(s,\lambda) \mathrm{d}s} \sin ^{2}\theta(t,\lambda) \mathrm{d}t \] 其中 \[ E(s,\lambda)= [\lambda+q(s)-1] \sin 2\theta(s,\lambda). \]
易知 \(\sin ^{2} \theta(x,\lambda)\) 不恒为零（\(0\leqslant x\leqslant 1\)）. 因此上式可见 \[ \omega'(\lambda)=\frac{\partial \theta}{\partial \lambda}(1,\lambda)>0, \] 引理证毕.
引理 9.3：当 \(-\infty<\lambda<\infty\) 时，\(\omega(\lambda)>0\)，并且 \[ \lim_{\lambda \to -\infty} \omega(\lambda)=0. \] 证：先利用（9.25）证明 \(\theta(x,\lambda)>0, 0<x\leqslant 1\). 那么就有 \(\omega(\lambda)=\theta(1,\lambda)>0,-\infty<\lambda<\infty\).
考虑到 \(0\leqslant \alpha<\pi\)，在 \((x,\theta)\) 平面上取两点 \(A(0,\pi-\varepsilon)\) 和 \(B(1,\varepsilon)\). 如果积分曲线 \(\theta=\theta(x,\lambda)\) 与直线第一次交于 \(x= \bar{x}_1\)，则斜率 \(\theta'(\bar{x}_1,\lambda)\geqslant 直线 AB 的斜率 K=2 \varepsilon-\pi\). 又注意到由（9.25） \[ \theta'(\bar{x}_1,\lambda)=\cos ^{2}\theta +[\lambda+q(\bar{x}_1)]\sin ^{2}\theta \] 考虑到要让 \(\lambda \to -\infty\)，想让 \(\theta'(\bar{x}_1,\lambda)<2 \varepsilon-\pi\) 从而导出矛盾. 而 \(\sin \theta \geqslant \varepsilon\)，故只要 \[ 1+[\lambda+M]\sin ^{2}\varepsilon<2 \varepsilon-\pi \] 其中 \(M= \max\{q(x)\colon 0\leqslant x\leqslant 1\}\)，就有积分曲线不可能与 \(AB\) 相交，解出 \(\lambda\) 的取值. 这说明当 \(\lambda \to -\infty\) 时，\(\omega(\lambda)\to 0\).
也可以参考
(万年老坑)常微分方程学习笔记(10) https://zhuanlan.zhihu.com/p/151401565
引理 9.4：当 \(\lambda \to \infty\) 时， \(\omega(\lambda)\to \infty\).
证：关键是注意到 \[ \int_{0}^{1} \frac{\theta'}{\cos ^{2}\theta+[\lambda+q(x)]\sin ^{2}\theta} \mathrm{d}x=\int_{\alpha}^{\omega(\lambda)} \frac{\mathrm{d}\theta}{\cos ^{2}\theta+[\lambda+q(x)]\sin ^{2}\theta}=1 \] 如果 \(\omega(\lambda)\) 有界，令 \(\lambda \to \infty\)，可以预想中间式子积分其实应该很小，分 \(\sin \theta\) 的零点附近（注意只有有限个零点）和剩下的部分分别计算积分，导出矛盾.
定理 9.3：S-L 边值问题有无限多个（简单的）特征值，而且可排列如下： \[ \lambda_0<\lambda_1<\cdots <\lambda_k<\cdots \] 其中 \[ \lim_{k \to \infty} \lambda_{k} = \infty. \]
习题 9-2 第二题为什么不与定理矛盾？
特征函数系的正交性
S-L 边值问题 \[ y''+[\lambda+ q(x)]y=0, \tag{9.33} \] 和 \[ \begin{cases} y(0)\cos \alpha- y'(0) \sin \alpha=0, \\ y(1)\cos \beta- y'(1) \sin \beta=0, \tag{9.34} \end{cases} \] 其中 \(\lambda\) 是参数，而函数 \(q(x)\) 在区间 \(0\leqslant x\leqslant 1\) 是连续；又设常数 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 满足不等式 \[ 0\leqslant \alpha<\pi, \quad 0<\beta\leqslant \pi. \]
考虑对于每个特征值 \(\lambda_n\) 的特征函数 \(\varphi(x,\lambda_n)\). 当 \(C \neq 0\) 时， \(C\varphi(x,\lambda_n)\) 也是特征函数.
引理 9.4：对应于每个特征值，S-L 边值问题有且只有一个线性无关的特征函数.
考虑两个解在 \(x=0\) 处的 Wronsky 行列式，直接得到它们线性相关.
下面令 \[ \varphi_n(x)= \varphi(x, \lambda_n) \quad (n=0,1,2,\cdots ). \tag{9.35} \]
引理 9.5 特征函数系（9.35）在区间 \(0\leqslant x\leqslant 1\) 上组成一个正交系，即 \[ \int_{0}^{1} \varphi_n(x)\varphi_k(x) \mathrm{d}x= \begin{cases} 0, \quad n\neq k; \\ \delta_k>0, \quad n\neq k. \end{cases} \]
证：关键是得到 \[ (\lambda_n-\lambda_k) \varphi_n(x) \varphi_k(x)= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\varphi_n(x)\varphi'_k(x)-\varphi'_n(x)\varphi_k(x)], \] 然后积分并利用边值条件.
定理 9.6：\(\varphi_n(x)\) 在 \([0,1]\) 上有 \(n\) 个零点.
注意到 \(\varphi_n(x)\) 对应的 \(\theta(t,\lambda_n)\) 不可能取到某个 \(k \pi\) 至少两次，否则在相邻零点处导数值异号，但在 \(\theta=0\) 处导数值应该为 \(1\)，故这是不可能的.
定理 9.7：如果 \(f(x)\) 在区间 \(0\leqslant x\leqslant 1\) 上是 Riemann 可积的，而且满足 \[ \int_{0}^{1} f(x)\varphi_n(x) \mathrm{d}x=0 \quad(n=0,1,2,\cdots ), \] 那么 \(f(x)\) 在连续点处恒等于零.
证明分几步（下面都是一般形式的 S-L 边值问题）
可以参考
常微分方程边值问题和Sturm比较理论引论 https://cadal.edu.cn/cardpage/bookCardPage?ssno=06504331&source=card
的P126-P131.
定理 9.7 说明特征函数系（9.35）在Riemann可积的函数空间 \(\mathcal{R}\{[0,1];\mathbb{R}^{1}\}\) 中是一个完全的正交系. 在区间 \([0,1]\) 上可以考虑可积函数 \(f(x)\) 关于特征函数系（9.35）的（广义）Fourier展开 \[ f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} a_n \varphi_n(x), \tag{9.36} \] 其中 \[ a_n=\frac{1}{\delta_n} \int_{0}^{1} f(x)\varphi_n(x) \mathrm{d}x \quad(n=0,1,2,\cdots ), \] 而正数 \[ \delta_n= \int_{0}^{1} \varphi_n^{2}(x) \mathrm{d}x. \] 可以进一步证明下述结论.
定理 9.8：设函数 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上满足 Dirichlet 条件，则它的广义Fourier 级数（9.36）收敛到它自己.
一些更细致的讨论见
常微分方程边值问题和Sturm比较理论引论 https://cadal.edu.cn/cardpage/bookCardPage?ssno=06504331&source=card
的P132-P143.
非齐次方程的 S-L 边值问题
\[ \begin{cases} y''+[\lambda+q(x)]y= f(x), \\ y(0)\cos \alpha- y'(0) \sin \alpha=0, \quad y(1)\cos \beta-y'(1)\sin \beta=0. \end{cases} \]
当 \(\lambda\) 不是相应齐次方程的 S-L 边值问题的特征值时，它有且只有一个解；而当 \(\lambda\) 等于某个特征值 \(\lambda_m\) 时， 它有解的充要条件为 \[ \int_{0}^{1} f(x)\varphi_m(x) \mathrm{d}x=0, \] 其中 \(\varphi_m(x)\) 为相应于特征值 \(\lambda_m\) 的特征函数.
证：当 \(\lambda\) 不是特征值时，
\[ \int_{0}^{1} f\varphi_m = \int_{0}^{1} y''\varphi_m +[\lambda_m +q]y\varphi_m= \int_{0}^{1} y''\varphi_m-\varphi_m''y= (y'\varphi_m-y \varphi_m')\bigg |_{0}^1=0 \]
参考
- 邓宗琦. 常微分方程边值问题和Sturm比较理论引论. 湖北：华中师范大学出版社，1987 ↩︎