常微分方程(9)

边值问题

Sturm 比较定理

考虑二阶线性微分方程 其中 在区间 上是连续的.

引理9.1:(9.1)的任何非零解在区间 内的零点都是孤立的.

由解的唯一性易知.

定理9.1:设 是(9.1)的两个非零解,则 - 它们线性无关,当且仅当它们有相同的零点; - 它们线性无关,当且仅当它们的零点互相交错.

;利用 Wronsky 行列式和 Liouville 公式,考虑相邻零点处的导数值即可.

定理9.2(Sturm 比较定理):两个齐次线性微分方程 这里系数函数 在区间 上是连续的,而且假设不等式 成立. 又设 是方程(9.6)的一个非零解,而且 是它的两个相邻的零点. 则(9.7)的任何非零解 之间至少有一个零点 ).

如果(9.8)变为 那么可以加强为

:关键是构造出函数 并讨论 上恒正或恒负.

推论:方程(9.1)的任何两个线性无关的解的零点是相互交错的. (令

是(9.1)的一个非零解. 若 在区间 上最多只有一个零点,则称它在 上是非振动的;否则,称它在 上是振动的. 如果 在区间 上有无限个零点,则称它在 上是无限振动的.

判别法1:设(9.1)中的系数函数 则它的一切非零解都是非振动的. (与 的非零解 比较即可)

判别法2:设微分方程 其中 在区间 上是连续的,而且满足不等式 则(9.13)的任何非零解 在区间 上是无限振动的;而且它的任何两个相邻零点的间距不大于 .

由方程 的非零解 知判别法2不能减弱为

与判别法相对偶的有:如果 满足不等式 其中常数 . 则它的任何非零解 的相邻零点的间距不小于常数

证明时与 的非零解 可以任意跑比较.

S-L 边值问题的特征值

考虑比较一般的二阶齐次线性微分方程

其中 是一个参数,系数函数 在区间 上是连续的, 是可微的,而且 . 另外,设边值条件 其中常数 满足条件

上述形式的边值问题通常称为 Sturm-Liouville 问题. 设 时边值问题有非零解 . 则称 为该问题的特征值 为相应的特征函数,注意那么对于任何常数 仍是相应的特征函数.

作 Prüfer 变换[1] (9.16)变为

又(9.16)即

而边界条件变为

将(9.16)化成如下形式: 其中 在区间 上连续,而且把边值条件(9.17)化成 这里规定常数 .

搞不定了,到时候问老师.

希望存在(9.20)的形如 的解,满足初值条件 想让它也满足(9.21)的第二式. 令 其中 由(9.21)的第一式,有 这里 是某个整数. 满足第二式,只要使 满足条件

显然满足

且在(9.23)中取 ,即 .

引理 9.2:令 . 则函数 在区间 上是连续的,而且是严格上升的.

:(9.25)得到 的变分方程为

又由 而方程(9.27)关于 是一阶线性的. 因此,再利用初值条件(9.28),得到 其中

易知 不恒为零(). 因此上式可见 引理证毕.

引理 9.3:当 时,,并且 :先利用(9.25)证明 . 那么就有 .

考虑到 ,在 平面上取两点 . 如果积分曲线 与直线第一次交于 ,则斜率 . 又注意到由(9.25) 考虑到要让 ,想让 从而导出矛盾. 而 ,故只要 其中 ,就有积分曲线不可能与 相交,解出 的取值. 这说明当 时,.

也可以参考


(万年老坑)常微分方程学习笔记(10) https://zhuanlan.zhihu.com/p/151401565


引理 9.4:当 时, .

:关键是注意到 如果 有界,令 ,可以预想中间式子积分其实应该很小,分 的零点附近(注意只有有限个零点)和剩下的部分分别计算积分,导出矛盾.

定理 9.3:S-L 边值问题有无限多个(简单的)特征值,而且可排列如下: 其中

习题 9-2 第二题为什么不与定理矛盾?

特征函数系的正交性

S-L 边值问题 其中 是参数,而函数 在区间 是连续;又设常数 满足不等式

考虑对于每个特征值 的特征函数 . 当 时, 也是特征函数.

引理 9.4:对应于每个特征值,S-L 边值问题有且只有一个线性无关的特征函数.

考虑两个解在 处的 Wronsky 行列式,直接得到它们线性相关.

下面令

引理 9.5 特征函数系(9.35)在区间 上组成一个正交系,即

:关键是得到 然后积分并利用边值条件.

定理 9.6 上有 个零点.

注意到 对应的 不可能取到某个 至少两次,否则在相邻零点处导数值异号,但在 处导数值应该为 ,故这是不可能的.

定理 9.7:如果 在区间 上是 Riemann 可积的,而且满足 那么 在连续点处恒等于零.

证明分几步(下面都是一般形式的 S-L 边值问题)

可以参考


常微分方程边值问题和Sturm比较理论引论 https://cadal.edu.cn/cardpage/bookCardPage?ssno=06504331&source=card


的P126-P131.

定理 9.7 说明特征函数系(9.35)在Riemann可积的函数空间 中是一个完全的正交系. 在区间 上可以考虑可积函数 关于特征函数系(9.35)的(广义)Fourier展开 其中 而正数 可以进一步证明下述结论.

定理 9.8:设函数 在区间 上满足 Dirichlet 条件,则它的广义Fourier 级数(9.36)收敛到它自己.

一些更细致的讨论见


常微分方程边值问题和Sturm比较理论引论 https://cadal.edu.cn/cardpage/bookCardPage?ssno=06504331&source=card


的P132-P143.

非齐次方程的 S-L 边值问题

不是相应齐次方程的 S-L 边值问题的特征值时,它有且只有一个解;而当 等于某个特征值 时, 它有解的充要条件为 其中 为相应于特征值 的特征函数.

:当 不是特征值时,

参考

  1. 邓宗琦. 常微分方程边值问题和Sturm比较理论引论. 湖北:华中师范大学出版社,1987 ↩︎

常微分方程(9)
http://example.com/2022/06/23/常微分方程(9)/
Author
John Doe
Posted on
June 23, 2022
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