Chapter18

量子力学的发展

普朗克的能量子假说

热辐射概念

任何物体在任何温度下都要发射电磁波，这种与温度有关的辐射称为热辐射. 热辐射的电磁波的波长、强度与物体的温度、物体的性质表面形状有关.

辐出度：物体从单位面积上发射的所有各种波长的辐射总功率称为物体的辐出度（辐射力）\(E(T)\).

\[ E(T)=\frac{各个方向辐射的总功率}{面积}=\frac{\Delta P}{\Delta S} \]

单色辐出度：物体单位表面在单位时间内发出的波长在 \(\lambda\) 附近单位波长间隔内的电磁波的能量为单色辐出度（光谱辐射力）\(E_{\lambda}\)，即 \[ E_{\lambda}(T)= \frac{\mathrm{d}P_{\lambda}}{\mathrm{d}\lambda} \] \[ M(T)= \int_{0}^{\infty} M_{\lambda}(T) \mathrm{d}\lambda \]

吸收比： \[ \alpha = \frac{吸收的能量}{投入的能量（投入辐射）} \]

单色吸收比： \[ \alpha(\lambda,T)=\frac{吸收的某一特定波长的能量}{投入到某一特定波长的能量} \]

单色反射比： \[ \rho(\lambda,T)=\frac{反射的某一特定波长的能量}{投入到某一特定波长的能量} \]

单色透射比： \[ \tau(\lambda,T) \]

黑体：\(\alpha(\lambda,T)=1, \alpha=1\) 白体：\(\alpha=0\)，\(\rho=1\) 灰体：\(0<\alpha<1\)

热辐射的基本规律

Stefan - Boltzmann 定律 \[ M(T)= \sigma T^{4} \] 即总辐出度与温度的四次方成正比

Wien 位移定律 \[ T \lambda_m= b \] 即黑体单色辐出度的极值波长 \(\lambda_m\) 与黑体温度 \(T\) 之积为常数.

基尔霍夫定律 \[ \frac{E(\lambda,T)}{\alpha(\lambda,T)}= M_{b}(\lambda,T) \] 在温度一定时，物体单色辐出度与单色吸收比的比值为与材料无关的普适函数 \(M_b\)，那么 \(M_b\) 也就是黑体的单色辐出度.

这说明一个好的发射体一定也是好的吸收体

普朗克的能量子假说

维恩公式：从经典的Maxwell分布律出发 \[ M(T,v)=\alpha v^{3} \mathrm{e}^{-\beta v/T} \]

瑞利-金斯公式：从能均分定理出发 \[ M(T,v)=\frac{2\pi v^{3}}{c^{2}} kT \]

普朗克公式 \[ M_b(\nu ,T)=\frac{2\pi \nu^{2}}{c^{2}} \frac{h\nu}{\mathrm{e}^{\frac{h\nu}{kT}} -1} \]

普朗克的能量子假说（1900） \[ E_n=nh\nu \quad (n=1,2,\cdots ) \]

基尔霍夫定律 对于灰体， \[ \frac{E_{\lambda}(T)}{\alpha_{\lambda}(T)}=M_{\lambda}(T) \] 右侧是一个普适函数，与灰体本身性质无关.

光电效应

锌板、铜网

康普顿散射

频移 \(\Delta \lambda= \lambda-\lambda_0\) 随散射角的增大而增大，新波长的谱线强度随散射角 \(\theta\) 的增加而增加，但原波长的谱线强度降低.

X光子（\(\nu_0\)）与静止自由电子（\(m_0\)）弹性碰撞，写出（\(p,E\)）两个守恒方程（考虑相对论效应） \[ \begin{aligned} h\nu_0+m_0c^{2}&=h \nu+mc^{2} \\ \frac{h}{\lambda_0}\mathbf{n_0}&=\frac{h}{\lambda} \mathbf{n}+m \mathbf{v} \\ m&=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}} \\ \end{aligned} \]

康普顿红移公式： \[ \Delta \lambda=\lambda-\lambda_0=\frac{h}{m_0c}(1-\cos \theta)=2\lambda_c \sin ^{2} \frac{\theta}{2} \] 其中 \(\displaystyle \lambda_c=\frac{h}{m_0c}=2.43 \times 10^{-12} \text{m}\) 称为康普顿波长. \(\theta\) 为光子散射前后夹角

一般来说，自由电子不可能吸收光子，只能散射光子

氢原子光谱/Bohr理论

巴尔末公式 \[ \frac{1}{\lambda}=\frac{4}{B}(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}) \]

Rydberg公式 任意谱线的波数可以表示为 \[ \tilde{\nu}=R(\frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{n^{2}})=T(m)-T(n) \] 其中 \(\displaystyle \widetilde{\nu}=\frac{1}{\lambda}\) 为波数，\(R\) 为Rydberg常量

Bohr氢原子理论

Bohr假设： - 定态条件：电子绕核作圆周运动不辐射能量 - 角动量量子化条件 \[ m v_n r_n=n \frac{h}{2\pi}=n \hbar \] - 频率条件 \[ h\nu=E_m-E_n \]

氢原子光谱的Bohr理论解释 氢原子的半径 \[ r_n=n^{2} \frac{\varepsilon_0h^{2}}{\pi m e^{2}} =n^{2} r_1 \] 其中 \(r_1=a_0=0.053 \text{nm}\) 称为Bohr半径

氢原子的势能 \(U_n\) 和 \(E_{kn}\) 满足 \[ \begin{aligned} U_n&=\frac{2E_1}{n^{2}} \\ E_{kn}&=-\frac{E_1}{n^{2}} \end{aligned} \] 其中 \(E_1=-13.6 \text{eV}\)