Chapter16
光的干涉与衍射
匀速运动的电子不辐射电磁波，加速运动的电子辐射电磁波
双缝干涉
Q：双缝 \(d\)，平行单色相干光 \((\lambda,)\)
- 合振幅：\(\displaystyle E(\theta)=2\cos \frac{\Delta \varphi}{2}E_{p}\)，其中 \(\displaystyle \Delta \varphi=\frac{2\pi d}{\lambda}\sin \theta\)
\(n\)缝干涉：\(\displaystyle E(\theta)=E_p \frac{\sin (\frac{n \Delta \varphi}{2})}{\sin (\frac{\Delta \varphi}{2})}\)
在一般的参数下，光程差 \(\Delta=d \sin \theta\)
- 光强分布 首先光强 \[ I(\theta)=4I_0\cos ^{2}\frac{\Delta \varphi}{2}=4I \cos ^{2}(\frac{\pi}{\lambda}d\sin \theta) \] \(\displaystyle I_0=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_p^{2}\)
明条纹：\(\displaystyle d\sin \theta= \pm n \lambda\)，暗条纹：\(\displaystyle d\sin \theta=\pm (2n-1)\frac{\lambda}{2}\)
条纹间距 \[ \Delta x= \frac{L}{d} \lambda \]
- 衬度 \[ V=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}} \] 两个振幅一样时，衬度最大，为 \(1\)，若分振幅为 \(E_1,E_2\)，则衬度为 \[ V= \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2} \]
Q：斜入射双缝，干涉条纹要移动
Q：杨氏双缝干涉实验中，要加单缝.
判断明暗条纹时注意半波反射
在双缝干涉实验中，当单缝变宽时，干涉条纹衬度变小. 当单缝宽度达到 \(D\lambda/d\) （\(D\) 为单缝与双缝间距离，\(d\) 为双缝间距）时，干涉条纹完全消失.
光的相干性
相干条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定
相干光的实现： - 对普通光源：相干光必须是来自同一光波列，光源不同点发出的光是非相干的，同一点不同时间发出的光是非相干的，不同光源的光是非相干的 - 激光光源：不同光源的光可以是相干的
薄膜干涉
光程差 \[ L= \sum_{i}^{} n_i s_i \]
计算时注意半波损失！
等倾干涉
连续改变厚度时环心不断冒出环纹，中心处明暗交替；膜的厚度 \(e\) 减小时，条纹内缩，中心处明暗交替. 条纹内疏外密.
高反射膜
\[ d= \frac{\lambda}{4n} \]
增透膜
在玻璃板上喷镀透明介质膜 \(n<n_0\) 在两个面上均有半波损失，膜的厚度为 \[ d= \frac{\lambda}{4n} \] 时是增透膜
等厚干涉
劈尖干涉
\[ 2ne+ \frac{\lambda}{2} = k \lambda \] 时为明纹 \[ 2ne+ \frac{\lambda}{2} = (2k+1) \frac{\lambda}{2} \] 时为暗纹 \[ \Delta e= \frac{\lambda}{2n} \] 从而条纹间距 \[ \Delta x \thickapprox \frac{\lambda}{2n \theta} \]
牛顿环
\[ r \thickapprox \sqrt{2eR} \]
明环 \[ r=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2n}} \] 暗环 \[ r= \sqrt{\frac{kR\lambda}{n}} \] 环间距 \[ r_{k+m}^{2}- r_{k}^{2}= mR\lambda \]
条纹间距内疏外密，半径越大干涉级次越大；中央是暗纹（半波损失） ### 迈克尔逊干涉仪
光拍现象
单缝衍射
\[ E(\theta)=E_0 \frac{\sin \beta}{\beta},\quad \beta=\frac{\pi a \sin \theta}{\lambda} \] 其中 \(E_0\)为中央亮纹处的振幅
条纹分析
中央是明条纹，暗条纹条件 \[ a \sin \theta = \pm k \lambda, \quad k=1,2,3,\cdots \]
明条纹条件 \[ a\sin \theta= \pm (2m+1) \frac{\lambda}{2}, \quad m=1,2,\cdots \]
明纹宽度，0级明纹角宽度 \[ \Delta \theta_0 = 2 \theta_1 \thickapprox 2 \frac{\lambda}{a} \]
第 \(k\) 级明纹角宽度（也是暗纹角宽度） \[ \Delta \theta_k = \frac{\lambda}{a} \]
双缝衍射
首先单缝衍射中，上下移动单缝，光屏上各条纹不变.
Q： 双缝衍射 \((\lambda, a, d, E_0)\)， \(E(\theta)=\)？ 考虑到两个单缝之间有光程差 \(\delta=d \sin \theta\)，可以认为相位差 \(\displaystyle \varphi= \frac{2\pi d \sin \theta}{\lambda}\)，认为是两个有相位差的光合成. 因为 \(\displaystyle E_p=E_0 \frac{\sin \beta}{\beta}\)，故两个振动的叠加 \[ E=E_p \frac{\sin \varphi}{\sin (\frac{\varphi}{2})}=E_0 \frac{\sin \beta}{\beta}\frac{\sin (\varphi)}{\sin (\frac{\varphi}{2})} \]
那么 \(N\)缝衍射合振幅 \[ E=E_0 \frac{\sin \beta}{\beta} \frac{\sin (\frac{N\varphi}{2})}{\sin (\frac{\varphi}{2})} \]
注意 \(\displaystyle \beta=\frac{\pi a \sin \theta}{\lambda}, \varphi= \frac{2\pi d \sin \theta}{\lambda}\)
光栅： 大量等宽等间距的平行狭缝（或反射面）构成的光学元件.
光栅衍射
多缝干涉主极大： \[ d\sin \theta = k\lambda, \quad k=0, \pm 1,\cdots \]
此时所有缝的光振动同相，每个缝的振幅为 \(E_0\) \[ E=NE_0 \\ I=N^{2} I_0 \]
多缝干涉暗纹：
\[ d \sin \theta = \pm k \frac{\lambda}{N},\quad k=1,2,\cdots N-1,N+1,\cdots \]
多缝干涉次级大： 相邻主极大间有 \(N-1\)个暗纹，一定有 \(N-2\)条明纹——次级大
次级大的光强仅为主极大的4%
Q: \(k,k+1\)级主极大角间距？ \((N,d,\lambda)\)
\[ \theta_{k+1}-\theta_k=\frac{\lambda}{d} \]
第 \(k\)级主极大本身的角间距 \[ \Delta \theta_k=\frac{2\lambda}{N d} \]
第 \(k\)级次级大本身的角宽度 \[ \Delta \theta_k'=\frac{\lambda}{Nd} \]
- \(N\)对条纹的影响： \(N\)增大，主极大条纹位置不变，次级大增多，主极大条纹变细变锐.
- \(d\)对条纹的影响：\(d\)变大，主极大间距变小，条纹变密，中央包线内亮纹数目增大.
- \(a\)对条纹的影响：\(a\)减小，单缝衍射中央包线宽度变宽，中央包线内亮纹数目增加.
缺级现象： 主极大条件： \(d \sin \theta =k\lambda, (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )\) 衍射暗条纹：\(a \sin \theta =m\lambda,(m=\pm 1,\pm 2,\cdots)\) 在某些情况下，主极大条纹与衍射暗条纹重合，主极大条纹没了，这种现象称之为缺级现象.
条件： \[ \begin{cases} \sin \theta =\frac{k\lambda}{d} \\ \sin \theta=\frac{m\lambda}{a} \end{cases} \] 得到 \[ k=m\frac{d}{a} , (m=\pm 1, \pm 2,\cdots ) \] 注意 \(k,m\)为整数
光栅的色分辨本领： \[ R=\frac{\lambda}{\Delta \lambda} \]
Q: 怎样定义能分辨两条谱线？ 瑞利判据： 得到 \[ R=\frac{\lambda}{\Delta \lambda}=kN \]
（用 \(k\) 级主极大的分辨本领）
夫琅和费圆孔衍射现象
Airy disk（艾里斑） 84%
艾里斑的半角宽：
\[ d \sin \theta_1 \thickapprox 1.22 \lambda \]
透镜的分辨本领
如果透镜恰好能分辨两个物点，两个物点对透镜中心张角为 \[ \theta_1= \frac{1.22\lambda}{d} \]
定义最小分辨角的倒数为透镜的分辨本领. \[ R=\frac{d}{1.22\lambda} \] \(d\) 为透光孔径.
X射线的衍射
布拉格公式 \[ 2d\sin \theta=k \lambda \]