Chapter15
Chapter 15 电磁场与电磁波
Maxwell 电磁理论
变化的电场如何产生磁场？
Maxwell's idea 我们定义了电位移矢量 \(\mathbf{D}=\varepsilon_0 \mathbf{E}+\mathbf{P}\)，其中 \(\mathbf{P}=n q \mathbf{l}\)
可以定义位移电流密度 \[ \overrightarrow{j}_D=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t} \] 位移电流强度 \[ I_D= \iint_S \frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{S} \]
交换积分号与求导符号可得 \[ I_D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{\Phi}_{D}(t) \]
Q：RC电流充电电流 \(I_c\)，极板间的 \(I_d\)是多少？ 首先 \[ j_D=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \] 而 \[ \displaystyle I_D= j_D S=\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t} S=\frac{\mathrm{d}(DS)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(\sigma_0(t)S)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=I_C \]
一般的在介质中主要是位移电流，在导体中主要是传导电流，位移电流可以忽略不计.
Q： （\(I_c, I_d\)）共同产生磁场 \(H\)满足的规律？ \[ \oint_L \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=I_c+I_d=\iint_S \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \mathrm{d} \mathbf{S} \] 磁场强度的环量等于通过界面的全电流.
“变化电场激发涡旋磁场”与“变化磁场激发涡旋电场”相对称
Q：圆板电容器 \(d \ll R\)，充电电流 \(I_c\)，求C内磁场分布.
算出来是 \[ \mathbf{H}=\frac{r}{2\pi R^{2}}I_c \quad (r<R) \] 而 \(\displaystyle \mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{H}\).
全电流的连续性：在有 \(I_c\)的地方 \(I_d\)几乎为零；在有 \(I_d\)的地方没有 \(I_c\). 事实上 \(I_D=I_c+ I_d\)连续
证：任取任意闭合曲面 \(S\)，只需证明全电流对于该闭合曲面的通量为零.
一方面由高斯定理 \[ \oint_S \mathbf{D} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} =q \\ \oint_S \mathbf{j}_c \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} =-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \] 第一式求导与第二式相加，整理即得.
对于 T96 其实有（对于整个电容器） \(\displaystyle I_c=-I_d\)
例：运动电荷得全电流也连续，形成闭合曲线.
Maxwell 方程组
\[ \begin{cases} \oiint_S \mathbf{D} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=q_0 \\ \oiint_S \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0 \\ \oint_l \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=-\iint_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \\ \oint_l \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} =I +\iint_S \frac{\partial D}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \end{cases} \]
微分形式 \[ \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{D}= \rho_0 \\ \nabla \cdot \mathbf{B}= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} =-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}_c+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \\ \end{cases} \]
自由电磁场的微分形式 \[ \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{D}= 0 \\ \nabla \cdot \mathbf{B}= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} =-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{H}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \\ \end{cases} \]
还可以加入介质性质 \[ \begin{cases} \mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} \\ \mathbf{B} = \mu \mathbf{H} \\ \mathbf{j} = \gamma \mathbf{E} \end{cases} \]
电磁波
电磁波的性质
（1）电磁波为横波 （\(E,H,c\)）：RHR
（2）波动方程 \[ \begin{cases} \frac{\partial^{2} B}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial ^{2} E}{\partial z^{2}} \\ \frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial ^{2} B}{\partial z^{2}} \\ \end{cases} \] 我们也有 \(\varepsilon_0 \mu_0=\frac{1}{c^{2}}\) （3）介质中波速 \(\displaystyle c=\frac{1}{ \sqrt{\varepsilon \mu}}\)
（4） \(E=cB\)
证：（1）由T99知 \(\displaystyle E_{0x}=0\)，\(\displaystyle B_{0x}=0\)其中 \(x\)是传播方向.
Q：\(E,B\)方向关系？ 仍设传播方向为 \(x\)轴方向，不妨 \(E\)的方向为 \(y\)轴方向.
设出 \(B\)的方程，然后利用Maxwell方程组的第三个方程得到 \(B_y\)与 \(t\)无关. \(B_y\)有的分量应该是稳恒的，这不是电磁波，我们不关心.
（2）波动方程 Q：\(\displaystyle E=E(z,t)\mathbf{i}\), \(\displaystyle B=B(z,t)\mathbf{j}\)
（3）光速 折射率 \[ n=\sqrt{\mu_r \varepsilon_r} \] （4）\(E,B\)大小关系 有 \[ \frac{1}{2}\varepsilon E^{2}=\frac{1}{2} \mu H^{2} \] 从而在介质中有 \(\displaystyle E=uB\)
电磁波的能量
能量密度 \[ \omega=\varepsilon_0E^{2} \]
平均能量密度 \[ \bar{\omega}=\frac{1}{2}\varepsilon_0E_0^{2}=\frac{1}{2}\mu_0H_0^{2} \] 注意它与频率无关！
能流密度 \[ S= \omega u \] 单位为 \(W/m^{2}\)或 \(J/(s\cdot m^{2})\) 具体来说 \[ \mathbf{S}=\mathbf{E} \times \mathbf{H} \] 称为玻因廷(Poynting)矢量.
波强 \[ I=\bar{S}=\bar{E}\bar{H}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_0^{2} \] 即波强与振幅的平方成正比，与频率无关.
电磁波的动量
注意到 \[ w=\frac{EH}{c} \] 动量密度 \[ g= \frac{EH}{c^{2}}=\frac{S}{c^{2}} \] \[ \bar{g}=\frac{\bar{S}}{c^{2}}=\frac{I}{c^{2}} \]
光压 \[ P=c \bar{g}= \frac{I}{c} \]
电磁波的产生
除了开放式LC电路以外，加速运动、变速运动电荷的电场也可以辐射电磁波，振荡电偶极子周围的涡旋磁场与涡旋电场垂直套叠.