Chapter14

电磁感应

电磁感应定律

法拉第电磁感应定律

\[ \varepsilon = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \]

应用：麦克风、电吉他、磁带、电磁继电器······

动生电动势

\[ \mathbf{E}_k= \mathbf{v} \times \mathbf{B} \]

\[ \varepsilon = \int_{l}^{} (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} \]

感生电动势/感生电场

感生电场

感生电动势

\[ \varepsilon = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = - \iint_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \] 又有 \[ \varepsilon= \oint_{l} \mathbf{E}_i \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} \]

故 \[ \oint_{l} \mathbf{E}_i \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}= -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = - \iint_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \]

Q: 既有动生电动势，又有感生电动势

\[ \varepsilon = \int_{a}^{b} (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} + \int_{a}^{b} \mathbf{E}_i \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} \]

感生电场的应用

涡电流

\[ I \propto E_i \propto \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \propto \omega \]

\[ P \propto \omega^{2} \]

减小涡电流：增大电阻减小电流截面——使用硅钢片叠合

趋肤效应

考虑自感，电缆通交变电流时表面电流密度大，电缆有效截面积减小，电阻增大. 改善方法：表面镀银，分束法，空心

电子感应加速器

利用感生电场持续加速电子

满足条件： \[ \mathbf{B} = \frac{1}{2} \bar{\mathbf{B}} \]

即任何时刻，电子轨道上的磁感应强度应为轨道内磁场磁感应强度平均值的一半.

而且只在第一个 \(\frac{1}{4}\) 周期内加速.

自感和互感

互感

一个回路中电流的变化引起另一回路中产生感生电动势——互感电动势

\[ \Psi_{21} = M_{21} I_{1} \] \[ \Psi_{12} = M_{12} I_2 \] \[ M_{12}=M_{21}=M \]

\(M\) 称为互感系数，简称互感

若 \(M\) 保持不变，则 \[ \varepsilon_{21}=-M \frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t} \] \[ \varepsilon_{12}=-M \frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}t} \]

单位为亨利：\(H=VA ^{-1} s = \Omega s\)

互感系数在数值上对于一个线圈中电流随时间的变化率为一个单位时，在另一个线圈中引起互感电动势的绝对值. \(M\) 与两回路的几何形状、相对位置、磁介质等有关.

Q: 共轴细长螺线管 \(S, l, N_1, N_2\)，求互感

\[ M= \mu_0 \frac{N_1N_2}{l}S \]

自感

\[ \Psi = LI \] \[ \varepsilon_{L} = -L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \]

标定方向和 \(I\) 的标定方向相同. \(L\)：单位电流变化率在回路中产生的电动势

Q: 长螺线管 \(S,l,N\)，求自感

\[ L= \mu_0 \frac{N^{2}}{l}S= \mu_0 n^{2} V \] 充有介质时， \[ L= \mu n^{2} V \]

Q: 共轴长细螺线管 \(S,l,N_1,N_2\)，求互感和两自感的关系

\[ M= \sqrt{L_1L_2} \]

耦合系数 \[ k= \frac{M}{\sqrt{L_1L_2}} \]

当无漏磁时 \(k=1\)，否则一般 \(k<1\)

考虑自感后，电路的端电压超前电流（如趋肤效应、跳环实验中的互感电动势）

顺接&反接

两线圈磁通互相加强，称为顺接；互相削弱，称为反接

Q: \(L_1,L_2,M\) 的两线圈顺接串联的等效总自感

\[ L=L_1+L_2+2M \]

Q: \(L_1,L_2,M\) 的两线圈反接串联的等效总自感

\[ L=L_1+L_2-2M \]

当两线圈无漏磁耦合，且 \(L_1=L_2=L_0\)，则顺接时 \(L=4L_0\)，反接时 \(L=0\).

磁场能量

自感磁能

线圈存储的磁场能量 \[ W_{m}= \frac{1}{2} LI^{2} \]

Q: 长螺线管 \(\mathbf{B},V,\mu\)，求 \(W_{m}\)

\[ W_{m}= \frac{1}{2} \frac{B^{2}}{\mu}V \]

磁场的能量密度

\[ w_{m} = \frac{1}{2} \frac{B^{2}}{\mu} =\frac{1}{2} \mu H^{2}=\frac{1}{2} BH \]

\[ W_{m}= \iiint w_m \mathrm{d}V \]

互感磁能

两个线圈存储的磁能 \[ W_m= \frac{1}{2} L_1I_1^{2}+\frac{1}{2} L_2I_2^{2} \pm MI_1I_2 \]

其中 \(\pm MI_1I_2\) 称为互感磁能

两个电流建立的磁场相互加强，互感磁能为正 两个电流建立的磁场相互削弱，互感磁能为负