Chapter12
稳恒磁场
电流和电源
电流密度
\[ \mathbf{j}=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S_{\perp}}\mathbf{e}_n \] 方向为正电荷运动的方向
载流子 \(q\)，数密度 \(n\)，漂移速度 \(\mathbf{v}_d\)，则 \[ \mathbf{j}=nq \mathbf{v}_d \]
电流强度
\[ I= \iint_{S} \mathbf{j} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \]
电荷守恒定律
\[ \oiint_{S} \mathbf{j} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=- \frac{\mathrm{d}q_{内}}{\mathrm{d}t} \]
若空间电荷分布不随时间变化，则 \[ \oiint_{S} \mathbf{j} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0 \]
它称为稳恒电流条件，恒定电流产生的电场称为稳恒电场
它满足 \[ \oiint_{S} \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S} =\frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{i}^{} q_i \] 即高斯定理
\[ \oint_{l} \mathbf{E} \cdot\mathrm{d} \mathbf{l}=0 \] 即保守场
欧姆定律
微观形式
\[ \mathbf{j} = \frac{1}{\rho} \mathbf{E}= \sigma \mathbf{E} \] 其中 \(\sigma\) 称为电导率
电导率公式
\[ \sigma= \frac{n e^{2} \tau}{m} \] 其中 \(n\) 是单位体积的电子数，\(\tau\) 是平均碰撞时间
焦耳定律的微分形式
\[ w=\sigma \mathbf{E}^{2} \]
电源
非静电力
\[ \mathbf{E}_k=\frac{\mathbf{F}_k}{q} \]
比如洛伦兹力、旋电场、温差电源扩散作用、化学电池中溶解和沉积过程
电源电动势
\[ E=\frac{W}{q}=\int_{-}^{+} \mathbf{E}_k \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} \]
电源内部的欧姆定律
\[ \mathbf{j}=\sigma(\mathbf{E}+\mathbf{E}_k) \]
磁场
定义1： \(\mathbf{F}=q \mathbf{v} \times \mathbf{B}\)
定义2： \(\mathbf{F}= I \mathbf{L} \times \mathbf{B}\)（载流导线在磁场中受力）
定义3： \(\mathbf{M}= \mathbf{m} \times \mathbf{B}\)（小磁针在磁场中受力矩）
毕奥-萨法尔定律
Biot-Savart-Laplace Law \[ \mathrm{d}\mathbf{B}= \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \mathrm{d}\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \]
\(\mu_0=4\pi \times 10^{-7}\)(T \(\cdot\) m/A) 为真空磁导率
\[ \mathbf{B}=\int_{}^{} \mathrm{d}\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{L} \frac{\mathbf{I} \mathrm{d}\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \]
Q: 离无限长直电流距离为 \(r\) 的空间点的磁感应强度的大小为 \[ \mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
Q: 圆电流轴线上的电场分布
\[ \mathbf{B}=\frac{\mu_0 IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}} \]
圆电流中心处 \(z=0\) \[ B_{O}=\frac{\mu_0 I}{2R} \]
远离圆电流中心 \(z\gg R\) \[ B_{P} \thickapprox \frac{\mu_0 IR^{2}}{2z^{3}}= \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{IS}{z^{3}} \]
如果令 \(\mathbf{m}=IS \mathbf{e}_n\)，则 \[ \mathbf{B}_{P}= \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{\mathbf{m}}{z^{3}} \]
把载流圆线圈称为磁偶极子，\(\mathbf{m}\) 称为载流圆线圈的磁偶极矩，简称为磁矩. 如果线圈有 \(N\) 匝，则 \(m=NIS\)
Q: 载流无限长直螺线管轴线上的磁场
\[ \mathbf{B}_{O}=\mu_0 nI \]
实际上不限于轴线，螺线管内空间各点磁感应强度均相同
Q: 半无限长螺线管断面中心处，磁感应强度大小为 \(\mathbf{B}=\frac{1}{2}\mu_0 nI\)
磁高斯定理/安培环路定理
通过任意曲面 \(S\) 的磁通量为 \[ \Phi_{m}= \iint_{S} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \]
磁场的高斯定理
\[ \oiint_{S} \mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0 \]
安培环路定理
\[ \oint_{l} \mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}= \mu_0 \sum_{}^{} I \] 当 \(I\) 穿过环路成右手螺旋定则时取正，反之取负. 一条电流多次穿过也要分开计算.
Q: 无限大均匀载流平面板外的磁场 \[ B(z)=\frac{\mu_0 \alpha}{2} \] 其中 \(\alpha\) 为电流线密度
板内是正比例关系
Q: 两个圆电流轴线上的磁场分布，分三种情况
应用：亥姆霍兹线圈——相互平行的一对相同的圆形线圈，它们之间相隔一个半径并进行缠绕，从而使电流沿相同的方向流过这两个线圈。这种绕组在两个线圈之间产生均匀磁场，其主分量与这两个线圈的轴平行。
Q: 计算 （\(n, \mathrm{d}\mathbf{l}, S, q, \mathbf{v}\)）在 \(\mathbf{r}\) 的 \(\mathrm{d}\mathbf{B}\)
\[ \mathrm{d}\mathbf{B}= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q \mathrm{d}N \mathbf{v} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \] 一个载流子产生 \[ \mathbf{B}= \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q \mathbf{v} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \]
但一定要 \(v \ll c\)
由安培环路定理和 Kelvin-Stokes Theorem 可以得到以下结论
\[ \nabla \times \mathbf{B}= \mu_0 \mathbf{j} \]
即有电流的地方会产生磁场的旋转，没有电流的地方没有磁场的旋涡
磁场对载流导线的作用
\[ \mathbf{F}= \int_{L}^{} I \mathrm{d}\mathbf{l} \times \mathbf{B} \]
磁场对闭合载流导线的作用合力为零
Q: 任意形状载流线圈在磁场中受到的磁力矩 \[ \mathbf{M}= \mathbf{m} \times \mathbf{B} \] 其中 \(\mathbf{m} = NI \mathbf{S}\)
Q: 一段电流 \(I\)，在 \(\mathbf{B}\) 中安培力的功 \[ A=I \Delta \Phi \]
其中当 \(I\) 与 \(\mathbf{B}\) 成右手关系时，\(\Phi>0\). 反之则小于零.
带电粒子的运动
Q: 圆周运动等效磁矩与 \(\mathbf{B}\) 的方向关系如何：\(\mathbf{m}\) 与 \(- \mathbf{B}\) 同向
霍尔效应
\[ U_{H}= R_{H} \frac{IB}{d} \]
\(d\)是 \(\mathbf{B}\) 方向上的距离，\(R_H=\frac{1}{qn}\) 称为霍尔系数