Chapter11
导体和电介质
导体
静电平衡
表面电场 \[ \mathbf{E}= \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \mathbf{n} \] 其中 \(\sigma\) 为电荷面密度. 用高斯定理即可证明.
腔内无电荷，\(U_{腔}=U_0, E_{腔内}=0, \sigma_{内}=0\)（内表面无净电荷）
导体接地，导体电势为零，但电荷不一定全跑光
唯一性定理
空间电荷分布确定，该空间的电场分布由各个导体的电势（或电量）及区域边界上的电势（或电场）唯一确定. 空间电荷分布确定，边界条件确定，则场分布唯一确定.
静电屏蔽
接地空腔导体可保护腔外空间不受腔内带电体的影响——全静电屏蔽
孤立导体
电容器及电容
电介质
介质的极化
有极分子的转向极化 - 极性分子： \(p\neq 0\) 分子有固有电偶极矩 - 无极分子： \(p=0\) 分子无固有电偶极矩
无极分子的位移极化（感应极化） 无极分子在外场的作用下正、负电荷中心发生偏移而产生的极化现象
极化强度
极化强度 \[ \mathbf{P}= \lim_{\Delta V \to 0} \frac{\sum_{i}^{} \mathbf{p}_i}{\Delta V} \] 要求 \(\Delta V\) 宏观小，微观大. \(\mathbf{p}_i\) 为分子电偶极矩，求和为矢量和，单位为 C/m\(^{2}\)
完全极化的电介质，单位体积内分子数为 \(n\)，则极化强度为 \[ \mathbf{P}=n \mathbf{p} \]
极化电荷
在介质表面出现电荷，称为极化（束缚）电荷；也可能在体内出现极化电荷.
面元 $S $处的极化电荷面密度 \[ \sigma'=\mathbf{P} \cdot \mathbf{e}_n \]
任意闭合面内体极化电荷 \[ q'=-\oiint _{S} \mathbf{P} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \]
极化率
对于各向同性的电介质，当外加电场不太强时，介质内任意点的极化强度与该点的总电场强度 \(E=E_0+E'\) 成正比. \(E'\) 为介质极化所产生的附加电场强度. \[ \mathbf{P}= \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E} \] 式中 \(\chi_e\) 为介质的极化率. 一般来说极化率与介质中的电场强度无关，且为无量纲常量.
介质中静电场的环流定理
\[ \oint_{l} \mathbf{E}_0 \cdot \mathrm{d}l=0 \]
介质中静电场的高斯定理
定义 \[ \varepsilon_0 \mathbf{E}+\mathbf{P}=\mathbf{D} \] 则 \[ \oiint_{S} \mathbf{D} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}= \sum_{S内}^{} q_0 \] \(\mathbf{D}\) 称为电位移矢量，注意 - 电位移矢量并不仅仅由空间自由电荷分布决定，它还与外加电场 \(\mathbf{E}_0\) 和介质的极化电荷有关； - \(\mathbf{D}\) 本身没有物理意义 - 上面的定义是对于各向同性线性介质而言的. 对于一般介质， \(\mathbf{P}\) 与 \(\mathbf{E}\) 关系复杂（张量），如铁电体的电滞回线.
外电场不太强时 \[ \mathbf{D}=\varepsilon_0 E+\chi_e \varepsilon_0 E =\varepsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E} \]
令 \(\varepsilon_r=1+ \chi_e\) 为介质的相对介电常数，则 \[ \mathbf{D}=\varepsilon_0 \varepsilon_r \mathbf{E}=\varepsilon \mathbf{E} \]
注意，对于永久极化的驻极体，上式并不成立
Q 均匀介质球发生均匀极化 \((\mathbf{P},R)\) 则球内电场为 \[ \mathbf{E}'=-\frac{P}{3 \varepsilon_0} \]
介质交界面两侧电场的关系
电场强度与界面垂直 价值两侧电场电矢量位移值 \(\mathbf{D}\) 连续，则电场强度 \(\mathbf{E}\) 在介质界面不连续
电场强度与界面斜交 在介质两侧的电场电位移矢量在界面法线方向分量连续，从而电场强度在界面法线方向的分量不连续；介质两侧的电场强度界面切线方向的分量连续，从而电场电位移矢量在界面切线方向的分量不连续.
满足折射定律 \[ \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} \]
（与法线夹角）
有介质时的唯一性定理
空间电荷分布确定， \(\varepsilon_i\) 分布确定，在各个子区域的边界上满足 \[ \mathbf{E}_{it}=\mathbf{E}_{jt}, \quad \mathbf{D}_{in}=\mathbf{D}_{jn} \]
该空间的电场分布由各个导体的电势（或电量）及整个区域边界上的电势（或电场）唯一确定.
静电场的能量
\(n\) 个点电荷总电势能 \[ W=\frac{1}{2} \sum_{i}^{} q_i U_i \] 令 \(U_i\) 为 \(q_i\) 以外的电荷在 \(q_i\) 处的电势
一个带电体的总电势能 \[ W=\frac{1}{2} \int_{Q}^{} U \mathrm{d}q \]
把各点电荷彼此分散到无限远的过程中电场力做的功，把这些点电荷从无限远离的状态聚合到给定位置时外力做的功
带电导体球的静电能（\(Q,R\)） \[ W=\frac{Q^{2}}{8\pi \varepsilon_0 R} \]
电场能量密度
电场能密度 \[ w_{e}=\frac{1}{2} \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} \]