Chapter10
Chapter 10 静电场
库仑定律
Coulomb's Law \[ \mathbf{F}=\frac{q_1q_2}{4\pi \varepsilon_0 r^{2}}\mathbf{e_r} \]
其中真空介电常数 \[ \varepsilon_0=\frac{1}{4\pi k}=8.854\times 10^{-12} \]
Charge Conservation The total electric charge in an isolated system never changes
电场
运动电荷不满足作用力等于反作用力，说明存在第三者——场
电场强度 \[ \mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q_0}=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^{2}}\mathbf{e_r} \] \(q_0\)为试验电荷，电量和线度充分小 > 电场可以叠加
电偶极子（Electric Dipole） 等量异号、间距小的两个点电荷，方向从负电荷指向正电荷
电偶极矩（Electric Dipole Moment） \[ \mathbf{p}=q \mathbf{l} \]
电场计算
电偶极子中垂线上场强为 \[ \mathbf{E_B}=-\frac{\mathbf{p}}{4\pi \varepsilon_0 r^{3}} \]
电偶极子延长线上任一点 \(A\)的场强 \[ \mathbf{E_A}=\frac{2\mathbf{p}}{4\pi \varepsilon_0 r^{3}} \] 其中 \(r\)为 \(A\)到电偶极子中点的有向距离
Q 计算电偶极子产生的场强 \((\mathbf{p},\mathbf{r},\theta)\) 一般情况有 \[ \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 r^{3}}\left[\frac{3(\mathbf{p}\cdot \mathbf{r})\mathbf{r}}{r^{2}}-\mathbf{p}\right] \]
Q 计算无限长带电直线距离 \(d\)处场强 \[ E=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 d} \]
Q 半无限长端面 \[ E_x=E_y=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0d} \]
Q 计算均匀带电细圆环轴线上的电场 \((q,r,z)\) \[ E_z=\frac{qz}{4\pi \varepsilon_0 (r^{2}+z^{2})^{\frac{3}{2}}} \]
Q 计算薄圆盘的电场 \[ \mathrm{d}E=\frac{\mathrm{d}q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{z}{(r^{2}+z^{2})^{\frac{3}{2}}} \] 从而 \[ E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right) \] 注意 - \(\displaystyle z\to \infty \colon E=0\) - \(\displaystyle z \gg R \colon E=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 z^{2}}\) - \(\displaystyle z \to 0 \colon E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\)
电场力和力矩
\[ \mathbf{F}=q_0 \mathbf{E} \]
Q 求电偶极子受的合力 \[ \mathbf{F}=0 \]
Q 求电偶极子在均匀外电场中受到的电场力偶矩 \((p,E,\theta)\) \[ \mathbf{M}=\mathbf{p} \times \mathbf{E} \]
Q 非匀强场中电偶极子的受力 \((\mathbf{p}=p \mathbf{k}, \mathbf{E}(\mathbf{r}))\) \[ \mathbf{F}=p \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial z} \]
Q 求电偶极子在电场中受力. \(\mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z), \mathbf{E}(\mathbf{r})\) \[ \mathbf{F}=\mathbf{p} \cdot \nabla \mathbf{E} \]
上两个式子是令人迷惑的，会有9组不同的坐标出现
高斯定理
电场线
\[ \mathrm{d}N=E\mathrm{d}S \cos \theta \] 其中 \(\theta\)是 \(S\)的法向量 \(\mathbf{n}\)与 \(E\)的夹角
电通量（flux）
\[ \mathrm{d}\Phi=\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=E\mathrm{d}S_{\perp } \] 其中 \(\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathrm{d}S \mathbf{e_n}\) 从定义看出，电通量可以有正负
通过任意曲面的电通量 \[ \Phi=\iint_{S} \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \] 当曲面为闭合面时，取外法向
高斯定理
立体角
\[ \mathrm{d}\Omega =\frac{\mathbf{e_r}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}}{r^{2}}=\sin \theta\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi \]
以观测点为球心，构造一个单位球面；任意物体投影到该单位球面上的投影面积，即为该物体相对于该观测点的立体角。 > 立体角可以小于零（有向面积）
Q 计算任意闭合曲面对面内一点 o 所张的立体角（\(4\pi\)）
Q 部分曲面 \(\Delta \Omega\)，\(q\)，电通量？ \[ \Delta \Phi=\frac{q \Delta \Omega}{4\pi \varepsilon_0} \] Q 任意闭合曲面，曲面外一点 o，则积分 \[ \oiint_{S} \frac{\mathbf{e_r}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}}{r^{2}}=0 \] 从而任意闭合面，不包围 \(q\)，电通量为0. 点电荷在闭合面外对电通量无贡献，但对闭合面上的电场强度有贡献
电场线数目 \[ N=\frac{q}{\varepsilon_0} \]
高斯定理 \[ \oiint_{S} \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{i}^{} q_i \] \(S\)称为Gauss面
连续情况 \[ \oiint_{S}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_{V} \rho \mathrm{d}V \]
高斯定理应用
均匀带电球的电场分布 \[ \begin{cases} \displaystyle \mathbf{E}=\frac{\rho}{3 \varepsilon_0}\mathbf{r}, r < R \\ \displaystyle \mathbf{E}=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0r^{3}}\mathbf{r}, r\geqslant R \\ \end{cases} \]
高斯定理的微分形式
将高斯定理应用在 \(\Delta V\) 小体积元上 \[ \frac{\rho \mathrm{d}V}{\varepsilon_0}=\oiint \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=(\nabla \cdot \mathbf{E})\mathrm{d}V \] 最后一步用到数学中的高斯定理 故有 \[ \nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \] 即E的散度等于电荷密度除以 \(\varepsilon_0\)
电势
环路定理
静电场力为保守力，电场强度沿任意闭合路径的环流为零 \[ \oint_{l}\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=0 \]
电势
\[ V_1-V_2= \int_{1}^{2} \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l} \] \[ -\mathrm{d}V=\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l} \]
点电荷的电势 \[ V_{P}=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} \]
Q 均匀带电球体的电势分布 omitted
Q 均匀带电球面的电势分布 注意球内电场强度为零，故电势不变
Q 电偶极子的电势分布 \((p,r,\theta)\) \[ V=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r_{+}} -\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r_{-}}=\frac{q(r_{-}-r_{+})}{4\pi \varepsilon_0 r_{+} r_{-}}=\frac{p\cos \theta}{4\pi \varepsilon_0 r^{2}}=\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{r}}{4\pi \varepsilon_0 r^{3}} \]
电偶极层&电偶极层强度 \[ \mathbf{\tau}=\mathbf{l}\sigma_{e}=\frac{\Delta p}{\Delta S} \]
任意形状电偶极层在A点的电势 \[ V_{A}=\frac{l\sigma_{e}}{4\pi \varepsilon_0}\Omega, (z>0) \\ V_{A}=-\frac{l\sigma_{e}}{4\pi \varepsilon_0}\Omega, (z<0) \\ \] 电偶极层两侧电势差为 \(\displaystyle \frac{\tau}{\varepsilon_0}\)
Q 细带电半圆环 \((R,x)\) 且 \(\lambda(\theta)=\lambda_0 \sin \theta\) 求直径上任一点的电势 \[ U(x)=\int_{0}^{\pi} \frac{R\lambda_0 \sin \theta \mathrm{d}\theta}{4\pi \varepsilon_0(R^{2}+x^{2}-2Rx \cos \theta)^{\frac{1}{2}}}=\frac{\lambda_0}{2\pi \varepsilon_0} \] 即直径上各点的电势相同 > 通过计算可以发现直径上各点电场方向垂直于直径
类似有均匀带电半球面在底面电势相等
电势梯度
- 等势面与电场线处处正交
- 电荷移动的始点与终点在同一等势面上，电场力不做功
电势梯度 \[ \nabla V=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}n}\mathbf{e_n} \] 大小等于沿着等势面法线方向的空间变化率，指向电势增加的方向
有 \[ \mathbf{E}=-\nabla V=-(\frac{\partial V}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\mathbf{k}) \] 即电场强度和电势梯度的大小相等，方向相反
电势能
\[ W=qV \] \[ W_1-W_2=\int_{1}^{2} q_0 \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} \]
Q 电偶极子 \(\mathbf{p}\) 在外电场 \(\mathbf{E}\) 中的电势能 \[ W_{\text{dipole}}=-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E} \]