常微分方程（8）
定性理论与分支理论初步
The following videos are helpful to understand this chapter. Thanks to @inversioner at Zhihu.
【维度】数学漫步第一季（熟肉）[2008] https://www.bilibili.com/video/av13923799?from=search&seid=12319283859508785318
维度：数学漫步2-混沌 https://www.bilibili.com/video/av4194600?from=search&seid=12319283859508785318
动力系统，相空间与轨线
Recall autonomous differential equations: differential equations whose independent variables are not explicitly included in the equation.
Considering a moving particle in a n-dimensional space. We know its speed at \(\mathbf{x}\) is \(\mathbf{v}(\mathbf{x})=(v_1(\mathbf{x}),\cdots ,v_n(\mathbf{x}))\). The equation of motion is \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{v}(\mathbf{x}) \tag{1} \] If \(\mathbf{v}(\mathbf{x})\) satisfies the condition of existence and uniqueness theorem, then for all initial condition \[ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \] (1) has unique solution satisfying (2) \[ \mathbf{x}=\mathbf{\phi}(t,t_0,\mathbf{x}_0) \tag{3} \]
We call the space for \(\mathbf{x}\) (namely \(\mathbb{R}^{n}\) ) phase space, the space for \((t,\mathbf{x})\) (namely \(\mathbb{R}^{1} \times \mathbb{R}^{n}\) ) augmented phase space.
- defines a vector field in the phase space. \[ \mathbf{v}(\mathbf{x})=(v_1(\mathbf{x}),\cdots ,v_n(\mathbf{x})) \tag{4} \]
The solution (3) gives a trajectory in the phase space.
Trajectory is the projection of integral curve on the phase space.
If \(\mathbf{x}_0\) is a zero point of (4), namely \(v(\mathbf{x}_0)=0\), then (1) has a constant solution \(\mathbf{x}=\mathbf{x}_0\). We call \(\mathbf{x}_0\) is a balance point to (1). The balance points to (1) is called singularities.
If (3) is an unsteady periodic motion, namely \(\exists T>0\), s.t. \[ \mathbf{\varphi}(t+T,t_0,\mathbf{x}_0)\equiv \mathbf{\varphi}(t,t_0,\mathbf{x}_0) \] Then its trajectory in the phase space is a closed curve, denoted as close orbit.
Any autonomous differential equation has the form of (1). This introduces the concept of dynamic system.
Basic properties of dynamic system: - translation invariance of integral curves: for all constant \(C\), \(\mathbf{x}=\mathbf{\varphi}(t+C)\) is a solution to (1). - uniqueness of trajectories passing through each point in phase space. We can only consider the solution corresponding to the initial time \(t_0=0\). Define \[ \mathbf{\varphi}(t,\mathbf{x}_0)=\mathbf{\varphi}(t,0,\mathbf{x}_0) \] - properties of group: \(\mathbf{\varphi}(t,\mathbf{x}_0)\) satisfies \[ \mathbf{\varphi}(t_2,\mathbf{\varphi}(t_1,\mathbf{x}_0))=\mathbf{\varphi}(t_2+t_1,\mathbf{x}_0) \tag{5} \]
解的稳定性
翻不动了，上中文.
对于一般方程 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{f}(t,\mathbf{x}) \tag{6} \] 其中函数 \(\mathbf{f}(t,\mathbf{x})\) 对 \(\mathbf{x} \in G \subset \mathbb{R}^{n}\) 和 \(t \in (-\infty,\infty)\) 连续，并对 \(\mathbf{x}\) 满足 Lipschitz 条件. 又设上方程有一个解 \(\mathbf{x}= \mathbf{\varphi}(t)\) 在 \(t_0\leqslant t< \infty\) 有定义. 如果对任意给定的 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(\delta= \delta(\varepsilon)>0\)，使得只要 \[ \lvert \mathbf{x}_0- \mathbf{\varphi}(t_0) \rvert < \delta \] 就有以 \(\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0\) 为初值的解 \(\mathbf{x}(t,t_0,\mathbf{x}_0)\) 就也在 \(t\geqslant t_0\) 有定义，并且满足 \[ \lvert \mathbf{x}(t,t_0,\mathbf{x}_0)-\mathbf{\varphi}(t) \rvert <\varepsilon, \forall t\geqslant t_0 \] 则称方程的解 \(\mathbf{x}=\mathbf{\varphi}(t)\) 是（在Lyapunov意义下）稳定的. 假设 \(\mathbf{x}= \mathbf{\varphi}(t)\) 是稳定的，而且存在 \(\delta_1(0<\delta_1\leqslant \delta)\)，使得只要 \[ \lvert \mathbf{x}_0-\mathbf{\varphi}(t_0) \rvert <\delta_1 \] 就有 \[ \lim_{t \to \infty}(\mathbf{x}(t,t_0,\mathbf{x}_0)-\mathbf{\varphi}(t))=0 \] 则称解 \(\mathbf{x}= \mathbf{\varphi}(t)\) 是（在Lyapunov意义下）渐近稳定的. 如果解 \(\mathbf{x}=\mathbf{\varphi}(t)\) 不是稳定的，则称它是不稳定的.
还有渐近稳定域（吸引域）的概念. 如果吸引域是全空间，则称解 \(\mathbf{x}=\mathbf{\varphi}(t)\) 是全局渐近稳定的.
通过作代换 \(\mathbf{y}= \mathbf{x}- \mathbf{\varphi}(t)\)，可以得到一个常解 \(\mathbf{f}(t,\mathbf{0})=\mathbf{0}\)，以下讨论的都是零解的情况.
线性近似
把（6）右端的函数 \(\mathbf{f}(t,\mathbf{x})\)（注意 \(\mathbf{f}(t,\mathbf{0})= \mathbf{0}\)）展开成 \(\mathbf{x}\) 的线性部分和非线性部分之和 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}= A(t) \mathbf{x}+ N(t,\mathbf{x}) \tag{7} \] 其中 \(A(t)\) 是一个 \(n\) 阶的矩阵函数，对 \(t\geqslant t_0\) 连续；而函数 \(N(t,\mathbf{x})\) 对 \(t\) 和 \(\mathbf{x}\) 在区域 \[ G: \quad t\geqslant t_0, \lvert x \rvert \leqslant M \] 上连续，对 \(\mathbf{x}\) 满足 Lipschitz 条件，且满足 \(N(t,\mathbf{0})=\mathbf{0}(t\geqslant t_0)\) 和 \[ \lim_{\lvert \mathbf{x} \rvert \to 0} \frac{\lvert N(t,\mathbf{x}) \rvert }{\lvert \mathbf{x} \rvert }=0 \quad(对 t\geqslant t_0 一致成立) \]
定理8.1：考虑线性方程 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}= A(t) \mathbf{x} \tag{8} \] 假设其中的 \(A(t)\) 是常矩阵，则 - 零解是渐近稳定的 \(\Leftrightarrow\) 矩阵 \(\mathbf{A}\) 的全部特征根都有负的实部； - 零解是稳定的 \(\Leftrightarrow\) 矩阵 \(\mathbf{A}\) 的全部特征根的实部是非正的，且实部为零的特征根所对应的 Jordan 块都是一阶的； - 零解是不稳定的 \(\Leftrightarrow\) 矩阵 \(\mathbf{A}\) 的特征根中至少有一个实部为正；或者至少有一个实部为零，且它对应的 Jordan 块是高于一阶的.
定理8.2：设方程（7）中的 \(\mathbf{A}(t)=\mathbf{A}\) 为常矩阵，而且 \(\mathbf{A}\) 的全部特征根都具有负的实部，则（7）的零解是渐近稳定的.
定理8.3：设方程（7）中的 \(\mathbf{A}(t)=\mathbf{A}\) 为常矩阵，且 \(\mathbf{A}\) 的特征根中至少有一个具有正的实部，则（7）的零解是不稳定的
下面这个推广的Gronwall不等式我不会证，来源是知乎用户@inversioner 的常微分方程学习笔记（9），我也查不到这样形式的推广. 该推广与Gronwall不等式的最大区别在于函数具有类似迭代的形式，以下再给出一个足够证明上面定理的推广Gronwall不等式.
引理（推广的Gronwall不等式）：设非负连续函数 \(u_{n}(t),v(t)\) 满足不等式
\[ u_0(t)\leqslant c_0,u_n(t)\leqslant c_n+ \int_{t_0}^{t} v(s)u_{n-1}(s) \mathrm{d}s \]
其中 \(c_n\) 为常数，则有估计式
\[ u_{n}(t)\leqslant \frac{c_0'+\cdots +c_n'}{n+1} \mathrm{e}^{ \int_{t_0}^{t} v(s) \mathrm{d}s } \]
其中 \(c_k':= \sup_{n\geqslant k}\{c_n\}\).
可以证明的版本
引理：非负连续函数 \(u_n(t),v(t)\) 满足不等式 \[ u_n(t)\leqslant u_0(t)+ \int_{t_0}^{t} v(s)u_{n-1}(s) \mathrm{d}s \]
则有估计式 \[ u_n(t)\leqslant u_0(t) \mathrm{e}^{\int_{t_0}^{t} v(s) \mathrm{d}s} \]
证：直接依次代入，然后用 $^{x} $ 的Taylor展开即可.
回到上面两个定理
证：首先原方程（7）等价于积分方程 \[ \mathbf{x}(t)= \mathrm{e}^{(t-t_0)\mathbf{A}} \mathbf{x}_0+ \mathrm{e}^{t \mathbf{A}} \int_{t_0}^{t} \mathrm{e}^{-s \mathbf{A}} \mathbf{N}(s,\mathbf{x}(s)) \mathrm{d}s \] 构造函数序列 \(\mathbf{x}_n(t)\) 满足 \(\mathbf{x}_0(t)=\mathrm{e}^{(t-t_0)\mathbf{A}} \mathbf{x}_0\)，且 \[ \mathbf{x}_n(t)= \mathrm{e}^{(t-t_0)\mathbf{A}} \mathbf{x}_0+ \mathrm{e}^{t \mathbf{A}} \int_{t_0}^{t} \mathrm{e}^{-s \mathbf{A}} \mathbf{N}(s, \mathbf{x}_{n-1}(s)) \mathrm{d}s \]
如果 \(\mathbf{A}\) 的全部特征根都具有负的实部，那么 \(\lim_{t \to \infty}\mathrm{e}^{t \mathbf{A}} = 0\). 注意到 \(\mathbf{N}(s,\mathbf{x})\) 满足一致Lipschitz条件，可设 \[ \lvert \mathbf{N}(s,\mathbf{x})- \mathbf{N}(s,\mathbf{y}) \rvert\leqslant L \lvert \mathbf{x}- \mathbf{y} \rvert \] 并且有 \(\mathbf{N}(s,\mathbf{0})=\mathbf{0}\). 故 \[ \lvert \mathbf{x}_n(t) \rvert\leqslant \mathrm{e}^{(t-t_0)\mathbf{A}} \mathbf{x}_0+ \int_{t_0}^{t} L\mathrm{e}^{(t-s) \mathbf{A}} \lvert \mathbf{x}_{n-1}(s) \rvert \mathrm{d}s \]
（这里 \(\leqslant\) 的意思是每个坐标都 \(\leqslant\)）那么
\[ \lvert \mathbf{x}_n(t)- \mathbf{x}_{n-1}(t) \rvert \leqslant \int_{t_0}^{t} L\mathrm{e}^{(t-s) \mathbf{A}} \lvert \mathbf{x}_{n-1}(t)-\mathbf{x}_{n-2}(t) \rvert \mathrm{d}s \]
依次递推可得 \[ \lvert \mathbf{x}_{n}(t)-\mathbf{x}_{n-1}(t) \rvert \leqslant \frac{(L(t-t_0))^{n}\mathrm{e}^{(t-t_0)\mathbf{A}}\mathbf{x}_0 }{n!} \]
这就说明如果 $_0 $ 足够小，那么 \(\mathbf{x}_n(t)\) 在 \(t\geqslant t_0\) 上一致收敛，设极限为 \(\mathbf{x}(t)\)，那么有 \[ \lvert \mathbf{x}(t) \rvert \leqslant \mathrm{e}^{L(t-t_0)} \mathrm{e}^{(t-t_0)\mathbf{A}} \mathbf{x}_0 \]
这里的证明是很微妙的. 先取 $_0 $ 足够小，那么可以证明 $_1(t) $ 也足够小，进而可以先验地得到 $_n(t) $ 都足够小，然后再有每一步的 \(L\) 都足够小，可以认为这里用到了Gronwall不等式，并且有一种归纳的思想在.
证明零解的渐近稳定性，故考虑 $_0 $ 充分小，此时因为 \(L=o(\mathbf{x}_0)\)，故对于 $_0 $ 足够小， \[ \lim_{t \to \infty}\mathrm{e}^{L(t-t_0)} \mathrm{e}^{(t-t_0)\mathbf{A}} \mathbf{x}_0= \mathbf{0} \]
这个证明很大的缺陷是只有 $_0 $ 足够小时构造的序列才一致收敛. 希望之后能找到更好的证法
定理8.3的证明只要构造一个 \(\mathbf{x}_0\) 任意小，但是对应的解不稳定即可.
还有一个相关的结论：
结论：线性方程零解的渐近稳定性等价于它的全局渐近稳定性.
Lyapunov 第二方法
只考虑自治系统 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{f}(\mathbf{x}) \tag{9} \]
其中 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}\)，而函数 \(\mathbf{f}(\mathbf{x})=(f_1(\mathbf{x}),\cdots ,f_{n}(\mathbf{x}))\) 满足初值问题解的存在和唯一性条件.
假设存在标量函数 \(V(\mathbf{x})\)，它在区域 \(\lvert \mathbf{x} \rvert \leqslant M\) 上有定义，并且有连续的偏导数. 有如下几组条件：
条件 I \[ V(\mathbf{0})=0; V(\mathbf{x})>0, 当 \mathbf{x} \neq \mathbf{0} \] 称 \(V\) 为定正函数（丁真函数？）
条件 II \[ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\bigg |_{(9)}=\frac{\partial V}{\partial x_1} f_1+\cdots +\frac{\partial V}{\partial x_n}f_n<0,当 \mathbf{x} \neq \mathbf{0} \] 即 \(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}|_{(9)}\) 为定负函数
条件 II* \[ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} \bigg|_{(9)}\leqslant 0 \] 称 \(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}|_{(9)}\) 为常负函数
条件 III \[ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} \bigg|_{(9)}> 0,当 \mathbf{x}\neq \mathbf{0} \] 即 \(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}|_{(9)}\) 为定正
定理8.4 Lyapunov 稳定性判据： - 若I和II成立，则方程（9）的零解是渐近稳定的； - 若I和II*成立，则方程（9）的零解是稳定的； - 若I和III成立，则方程（9）的零解是不稳定的.
当条件I到III的不等号全部反置时，定理8.4仍然成立.
当条件I和III成立时，方程（9）的零解负向渐近稳定，因此它用于判断零解的不稳定性十分苛刻；一般的不稳定性判据可以提较弱条件.
证：
如何用李雅普诺夫第二法分析非线性系统在每个平衡点处的稳定性？ https://www.zhihu.com/question/38156489
李雅普诺夫函数的构造是个玄学问题. 给几个例子
（1）常系数线性微分方程组 \(\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{A} \mathbf{x}\)
令 \(V(\mathbf{x})= \mathbf{x} ^{\mathsf{T}} \mathbf{B} \mathbf{x}\)，\(\mathbf{B}\) 是待定实对称矩阵，则其全导数为 \(2\mathbf{x} ^{\mathsf{T}}\mathbf{BAx}= \mathbf{x}^{\mathsf{T}}(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{B}+\mathbf{B}\mathbf{A})\mathbf{x}\). 这时候问题变成找一个正定矩阵 \(\mathbf{B}\) 使得矩阵 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{B}+\mathbf{BA}\) 为负定/半负定/正定. 可以预先找一个负定/半负定/正定矩阵 \(\mathbf{C}\)，问题变成矩阵方程 \(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{B}+ \mathbf{BA}=\mathbf{C}\)
（2） \(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= y-x f(x, y), \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}= -x-y f(x, y)\). （\(f\) 在原点附近可微）
令 \(V (x, y)= x^{2}+y^{2}\)，此时 \[ \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}(x^{2}+y^{2})}{\mathrm{d}t}=-(x^{2}+y^{2}) f(x, y) \] 这就说明方程的稳定性与 \(f(x, y)\) 的性质有关.
（3） \(x''+g(x)=0\)，其中 \(xg(x)>0, \forall x \neq 0\)
方程可以化为 \(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=y, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-g(x)\). 将Lyapunov函数看成一种能量，系统的能量为 \(E=\frac{1}{2}y^{2}+\int_{0}^{x} g(s) \mathrm{d}s\). 显然 \(E\) 是正定的，\(E\) 的全导数是常负的，故零解是稳定但不渐近稳定的.
构造李亚普诺夫函数的规则化方法 https://zhuanlan.zhihu.com/p/410896233
如何构建李雅普诺夫方程（或者说有什么构建方程的技巧吗）？ https://www.zhihu.com/question/38006572
平面上的动力系统，奇点与极限环
考虑平面上的动力系统 \[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=X(x,y), \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}= Y(x,y) \tag{10} \]
其中 \(X (x, y)\) 和 \(Y (x, y)\) 在 \((x, y)\) 平面上连续，且保证初值问题的解唯一.
消去 \(t\) 得到 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= \frac{Y(x,y)}{X(x,y)} \tag{11} \]
初等奇点
以 \((0,0)\) 为奇点的线性系统 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} = \mathbf{A} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \tag{12} \] 其中 \(\mathbf{A}\) 为常矩阵.
- \(\mathbf{A}\) 非退化，称 \((0,0)\) 为初等奇点.
- \(\mathbf{A}\) 退化，称 \((0,0)\) 为高阶奇点.
初等奇点都是孤立奇点，线性高阶奇点都是非孤立的. 高阶奇点常可视为两个或多个初等奇点的复合
不妨 \(\mathbf{A}\) 已是Jordan标准型. 具体的定性结构看书吧，太多了.
定理8.5（初等奇点类型的判定）对于系统（12），记 \[ p=-\text{tr}(\mathbf{A})=-(a+d) 和 q= \det(\mathbf{A})=ad-bc \] 则有 - 当 \(q<0\) 时，\((0,0)\) 为鞍点； - 当 \(q>0\) 且 \(p^{2}>4q\) 时， \((0,0)\) 为两向结点； - 当 \(q>0\) 且 \(p^{2}=4q\) 时， \((0,0)\) 为单向结点或星形结点； - 当 \(q>0\) 且 \(0<p^{2}<4q\) 时， \((0,0)\) 为焦点； - 当 \(q>0\) 且 \(p=0\) 时，\((0,0)\) 为中心点；
此外，在第2到第4种情形中，当 \(p>0\) 时奇点 \((0,0)\) 是稳定的，而当 \(p<0\) 时是不稳定的.
书上还介绍了当矩阵 \(\mathbf{A}\) 不是 jordan 标准型时判断定性结构的方法，参见第二版p266.
对于非线性系统（10）. 假设 \((0,0)\) 是孤立奇点，将右端分解成线性部分与高次项之和 \[ \begin{cases} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= ax+by+\varphi(x,y) \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}= cx+dy+ \psi (x, y) \\ \end{cases} \tag{13} \]
提出三组条件（其中 \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)： 条件A \(\varphi (x, y), \psi (x, y)=o(r), r\to 0\). 条件A* \(\varphi (x, y),\psi (x, y)= o(r^{1+\varepsilon}),r\to 0\)，其中 \(\varepsilon\) 是一个任意小的正数. 条件B \(\varphi (x, y)\) 和 \(\psi (x, y)\) 在原点的一个小领域内对 \(x\) 和 \(y\) 连续可微
定理8.6 太长了，看第二版书p268
总的就是说当系统满足一些条件时，系统（10）和（12）有相同的定性结构.
比保持定性结构更弱的要求：保持拓扑结构. 概念太多，不抄了，开摆！
定理8.7 如果系统（13）的线性部分矩阵的特征根实部都不为零（此时称 \((0,0)\) 为它的双曲奇点），则它在奇点 \((0,0)\) 附近是（局部）结构稳定的，并轨道拓扑等价于它的线性化系统.
定理8.7推广到 \(\mathbb{R}^{n}\) 中称为Hartman-Grobman定理
极限环
动力系统（10）在闭轨 \(\Gamma\) 的某个（环形）领域内不再有别的闭轨，即 \(\Gamma\) 为孤立闭轨，则称它为（10）的极限环. 极限环 \(\Gamma\) 有一个外侧和内侧领域，使得在这个领域内出发的所有轨线当 \(t \to +\infty\) 或 \(-\infty\) 时都盘旋趋向 \(\Gamma\). 如果 \(\Gamma\) 内外两侧轨线都在 \(t \to +\infty\) （或 \(-\infty\) ）时盘旋趋于 \(\Gamma\)，则称 \(\Gamma\) 为稳定（或不稳定）极限环；若一侧是当 \(t \to +\infty\) 时盘旋趋于 \(\Gamma\)，另一侧是 \(-\infty\)，则称 \(\Gamma\) 为半稳定极限环.
这种闭轨 \(\Gamma\) 的稳定性称为轨道稳定性.
Poincaré-Bendixson 环域定理：设区域 \(D\) 是由两条简单闭曲线 \(L_1\) 和 \(L_2\) 所围成的环域，并且在 \(\bar{D}=L_1 \cup D \cup L_2\) 上动力系统（10）无奇点；从 \(L_1\) 和 \(L_2\) 上出发的轨线都不能离开（或都不能进入） \(\bar{D}\). 设 \(L_1\) 和 \(L_2\) 均不是闭轨线，则系统（10）在 \(D\) 内至少存在一条闭轨线 \(\Gamma\)，即 \(\Gamma\) 在 \(D\) 内不能收缩到一点.
把动力系统（10）看成一平面流体的运动方程，上述环域定理表明：如果流体从环域 \(D\) 的边界流入 \(D\)，而在 \(D\) 内又没有渊和源，那么流体在 \(D\) 内有环流存在. \(\Gamma\) 不一定是孤立的闭轨；但如果是解析向量场，那环域中的闭轨都是孤立的，因而它们都是极限环.
Liénard 方程 \[ x''+f(x)x'+g(x)=0 \tag{14} \]
其中 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 连续，且 \(xg(x)>0\)，当 \(x \neq 0\). 它等价于 \[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= y-F(x), \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}= -g(x) \tag{15} \]
其中 \(F(x)= \int_{0}^{x} f(x) \mathrm{d}x\). 当 \(g(x)=-x\) 时，可以画出（15）在相平面上的向量场 \((y-F(x),-x)\) 在任一点 \(P(x,y)\) 处的方向.
Liénard 作图法
Poincaré 映射与后继函数法
定理8.9：系统（10）的单重极限环 \(\Gamma\) 是结构稳定的，亦即：存在 \(\varepsilon>0\) 和 \(\Gamma\) 的环形领域 \(\mathcal{U}\)，使得（10）的任何 \(\varepsilon-\) 邻近系统在 \(\mathcal{U}\) 内仍有唯一闭轨，而且它与 \(\Gamma\) 有相同的稳定性.