Ascoli-Arzela Theorem
Ascoli-Arzela Theorem
Ascoli-Arzela定理在分析的多门课中都有用到：数分中作为一个函数项级数中的重要定理给出；ODE中用它来证明解的存在和唯一性定理；复分析中用它来证明Montel定理，从而证明Riemann Mapping Theorem；调和分析中用它来证明Peter-Weyl Theorem；在泛函分析中......
趁着脑子清醒，把以前记的相关结果记录一下，主要参考北京某高校数分三的笔记。这一节的标题为“紧集上的连续函数空间”主要是想证明如下定理：
Theorem (Ascoli-Arzela): 设 \(D \subset \mathbb{R}^{d}\)是一个紧集，\(\mathcal{F} \subset C(D)\)， 则 \(\mathcal{F}\)完全有界 \(\iff\) \(\mathcal{F}\) 有界且等度连续.
它回答了这样一个问题：\(C(D)\)中什么样的集合是紧的？
解释一下概念： $C(D) $ \(D\)上连续函数构成的空间，其中 \(D\)作为紧集可以是有限子集、有界闭区域或者紧子流形.
（逐点）等度连续：\(\forall x_0 \in D, \forall \varepsilon >0,\exists \delta>0, \forall f \in \mathcal{F}, \forall \lvert x-x_0 \rvert <\delta,(\lvert f(x)-f(x_0) \rvert <\varepsilon)\)
一致等度连续就是上面定义中的 \(\delta\)不依赖于 \(x_0\)的选取
规定 \(D\)上的范数：\(\lVert \cdot \rVert \colon C(D) \to \mathbb{R}, f \mapsto \max_{x \in D} \lvert f(x) \rvert\)，易见 \(C(D)\)中函数列按由该范数诱导的度量定义的收敛性即为一致收敛性. 由此得到
定理：\(C(D)\)是一个Banach空间.
证：\(C(D)\)中的Cauchy列 \(\{f_n\}\)按上度量（一致）收敛到某个 \(f\)，易知 \(f\)连续，故属于 \(C(D)\).
在一般的完备度量空间上，紧与列紧等价，但是有界闭的条件太弱了，可以从 \(f_n(x)=x^{n}, x \in [0,1]\)得出，有界闭并不与列紧等价.
下面总假设 \((X,d_{X})\)是一个完备度量空间，\(E\)是 \(X\)的一个子集.
Lemma 1：\(E\)紧 \(\Rightarrow\) \(E\)列紧. 证：设 \(\{x_k\}\)是 \(E\)中的点列，反证法：考虑 \(E\)的像 \(F\). \(F\)为有限集的情况是易证的；对于 \(F\)为无限集的情况，考虑 \(E\)中每个点与 \(F\)交只为有限集的球领域，所有这些球领域构成 \(E\)的开覆盖，则它的任意有限子覆盖只能覆盖 \(F\)的有限个点，总有 \(F\)中的点不被盖到，这与 \(E\)的紧性矛盾！
Lemma 2： \(E\)列紧 \(\Rightarrow\) \(E\)紧 在给出证明前先做一些准备工作
定义：若对任意的 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(E\)中的有限点集 \(x_1,\cdots ,x_m\)使得 $E B(x_1,)B(x_m,) $则称 \(E\)是完全有界的，有限点集 \(x_1,\cdots ,x_m\)称为一个 \(\varepsilon\)-网
Lemma3：\(E\)列紧 \(\Rightarrow\) \(E\) 完全有界 证：反证法，归纳得到一个两两之间距离大于 \(\varepsilon_{0}\)的点列，它不是Cauchy列，从而 \(E\)不列紧.
接下来讨论 \(X\)中完备和闭的关系
Lemma4：\(E\)完备 \(\Leftrightarrow\) \(E\)闭 证：完备推闭时，假设不闭，则某个不在 \(E\)中的点会有一个 \(E\)中趋向于该点的序列，由完备性，它在 \(E\)中，得到矛盾. 闭推完备时，假设不完备，则某个Cauchy列的极限不在 \(E\)中，由聚点原理易得矛盾.
总体上说这是一个比较显然但是很重要的引理
Lemma5：\(E\)列紧 \(\Rightarrow\) \(E\)完备 \(\Rightarrow\) \(E\)闭 证：Cauchy列子列的极限也一定是Cauchy列的极限.
Lemma6：\(E\)完全有界（且闭） \(\Rightarrow\) \(E\)（自）列紧 证：任取一个点列 \(\{x_k\}\)，利用完全有界的性质，可以归纳地构造一系列以某个子列为圆心的开球族，每个开球都包含 \(E\)中的无穷多个点（类似于闭区间套定理的证明），证明该子列是Cauchy列，由闭（故完备）知极限也在 \(E\)中，从而 \(E\)列紧.
Lemma7：\(E\)列紧 \(\Rightarrow\) \(E\)具有Lebesgue数性质，即对于 \(E\)的任一开覆盖 \(\{U_{\alpha}\}\)，存在一个 \(\varepsilon>0\)，使得对于任意的 \(x \in E\)，存在一个 \(U_{\alpha}\)，使得 $B(x,) U_{} $.
证：也是利用反证法，依次取 \(\displaystyle \varepsilon_k=\frac{1}{k}\)，得到不满足上性质的一个序列，它有一个收敛子列，但是这样就会与 \(U_{\alpha}\) 是开集矛盾了.
Lemma8：\(E\)完全有界且具有Lebesgue数性质 \(\Rightarrow\) \(E\)紧 证：倒一倒，完全有界得到的 \(\varepsilon-\)网和Lebesgue数性质基本上是一个东西. 这样可以从任意一个开覆盖得到一个有限子覆盖.
这样我们就可以证明Lemma2了：列紧可以得到完全有界（Lemma3）且具有Lebesgue数性质（Lemma7），由Lemma8得其紧.
至此证明了如下定理 Theorem1：设 \((X,d_{X})\)是一个完备度量空间，\(E\)是 \(X\)的子集，则以下性质等价 - \(E\)紧 - \(E\)列紧 - \(E\)完全有界闭
关于完全有界性，还有如下结果
Theorem2：\(X\)和 \(E\)如前，则以下性质等价 - \(E\)完全有界 - \(\bar{E}\)紧（这在拓扑中叫预紧或相对紧） - \(E\)是紧集的子集 - \(E\)中任意序列有收敛子列（其极限不必在 \(E\)中）
证：1证2：只要证明 \(\bar{E}\)完全有界，这在 \(E\)完全有界的 \(\varepsilon\)取小一点即可. 2证3：显然. 3证4：设 \(E\)是紧集 \(F\)的子集，则 \(E\)中的点列都有收敛于 \(F\)的子列. 4证1：同Lemma3.
实际应用中Theorem2的最后一个条件比较重要. 一般的完备度量空间上能得到的最好的结果就是上面的两个定理.
在泛函分析中，对 \(\forall \varepsilon>0\) 存在有限 \(\varepsilon\)-网和 \(\forall \varepsilon>0\) 存在列紧的 \(\varepsilon\)-网是等价的。注意到 \(\varepsilon\) 的任意性其实是很强的一个条件。
下面回到 \(C(D)\)，在该空间上紧性的刻画.
Theorem (Ascoli-Arzela): 设 \(D \subset \mathbb{R}^{d}\)是一个紧集，\(\mathcal{F} \subset C(D)\)， 则 \(\mathcal{F}\)完全有界 \(\iff\) \(\mathcal{F}\) 有界且等度连续.
此处的有界可以是逐点有界，也可以是一致有界. 等度连续可以是逐点等度连续，也可以是一致等度连续，它们在紧集上基本是等价的.
Lemma1：设 \(D\)紧，则 \(\mathcal{F}\)逐点等度连续 \(\Leftrightarrow\) \(\mathcal{F}\)一致等度连续.
证：同紧集上逐点连续函数必一致连续的证明.
Lemma2：设 \(D\)紧，$ C(D) $等度连续，则 \(\mathcal{F}\)逐点有界 \(\Leftrightarrow\) \(\mathcal{F}\)一致有界.
证：只需要证明正方向. 由等度连续和紧（从而完全有界）的性质，可以从 \(x_1,\cdots ,x_m\)的 \(\delta-\)网得到 \(f(x_1),\cdots ,f(x_m)\)的 \(\varepsilon-\)网，取其中最大的，再加上一个 \(\varepsilon\)即为一致的界.
Ascoli-Arzela定理的证明： - 完全有界 \(\Rightarrow\)有界： 取 \(\mathcal{F}\)的一个 \(1-\)网，再放大一下即可.
- 完全有界 \(\Rightarrow\)等度连续 先证一个引理
Lemma3：若 \(f_k \rightrightarrows f\)，则 \(\{f_k\}\)完全有界且等度连续.
证：“\(\Rightarrow\)”：在一开始说过的度量的意义下，\(\{f_k\}\)是 \(C(D)\)中的Cauchy列，所以任一子列都收敛，因此完全有界（注意这里谈论的是点列的完全有界性）.
下证等度连续，采用三分法. 一致收敛得到 \(d(f_n(x),f(x))\)的估计，\(f\)的一致连续性得到 \(d(f(x),f(y))\)的估计，于是可以得到 \(n>N\)时 \(d(f_n(x),f_n(y))\)的估计. 由 \(f_k\)的一致连续性可以补充 \(k\)较小的时候的情况. Lemma3证毕.
回到Ascoli-Arzela定理的证明. 假设 \(\mathcal{F}\)不等度连续，则存在 \(\varepsilon_0>0\)使得对于任意的 \(\delta>0\) 都存在 \(x_{\delta},y_{\delta} \in D, f_{\delta} \in \mathcal{F}\)，满足 \(d(x_{\delta},y_{\delta})<\delta\)，且 \(d(f_{\delta}(x_{\delta}),f_{\delta}(y_{\delta}))>\varepsilon_0\).
依次取 \(\displaystyle \delta_k=\frac{1}{k}, k=1,2,..\)可得 \(x_k,y_k,f_k\)满足上述条件. 因为 \(\mathcal{F}\)完全有界，所以 \(\{f_k\}\)有收敛子列 \(\{f_{k_j}\}\). 由刚刚证明的Lemma3，\(\{f_{k_j}\}\)等度连续，于是对上面的 \(\varepsilon_0>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(x,y \in D\)满足 \(d(x,y)<\delta\)时，有 \(d(f_{k_j}(x),f_{k_j}(y))<\varepsilon_0, \forall j \in \mathbb{N}\).
另一方面，取充分大的 \(j\)使得 \(\frac{1}{k_j}<\delta\)，则 \(d(x_{k_j},y_{k_j})<\frac{1}{k_j}<\delta\)，并且有 \(d(f_{k_j}(x_{k_j}),f_{k_j}(y_{k_j}))\geqslant \varepsilon_0\)，矛盾！
“\(\Leftarrow\)”：若 \(D\)是有限集，记 \(n\)为 \(D\)的势，则 \(C(D)=\mathbb{R}^{n}\)，此时有界 \(\Rightarrow\) 完全有界.
若 \(D\)是无限集，下证有界和等度连续 \(\Rightarrow\)任一序列有收敛子列（极限不必在 \(\mathcal{F}\)中）. 从而由Theorem2知 \(\mathcal{F}\)完全有界.
设 \(\{f_n\}\)是 \(\mathcal{F}\)中一个点列，\(D\)紧从而完全有界. 依次取 $_k=, k=1,2,$有相应的 \(\varepsilon_k-\)网 \(\{x_{k,1},\cdots ,x_{k,m_k}\}\). 记 \(I\)是这些 \(\varepsilon_k-\)网的并，并将 \(I\)中元素重新编号为 \(I=\{x_1,x_2,\cdots \}\).
对于每个 \(x_k \in I\)，因为 \(\mathcal{F}\)逐点有界，所以 \(f_n(x_k)\)有界，于是有收敛子列 \(\{f_n^{(k)}(x_k)\}\)，再考虑 \(\{f_n^{(k)}(x_{k+1})\}\)，它也有收敛子列 \(\{f_n^{(k+1)}(x_{k+1})\}\)，继续下去得到一系列子列 \(\{f_{n}^{(k)}\}\). 取 \(g_n=f_n^{(n)}\)，对于每个 \(x_k \in I\)，\(\{g_n(x_k)\}=\{f_n^{(n)}(x_k)\}\). 推得 \(\{g_n\}\)在 \(I\)上逐点收敛.
三分法，取一个足够大的 \(n_0\)对应的一个 \(\varepsilon_{n_0}-\)网 \(\{\xi_1,\cdots ,\xi_k\}\)，则 \(\{g_n(\xi_i)\}\)收敛. 应用等度连续性即知 \(\{g_n\}\)在 \(D\)上一致收敛，于是 \(\mathcal{F}\)完全有界.
最后看一个例子 例：\(D=[a,b], X=C[a,b]\)，$ X $一致有界，设 \(\lvert f(x) \rvert \leqslant M, \forall x, \forall f\). 定义 $X X, f _{a}^{x} f(t) t $，则 \(\lvert \varphi(f)(x) \rvert \leqslant M(b-a)\)，即 \(\varphi(\mathcal{F})\)一致有界. $(f)(x)-(f)(y) M x-y $ 这说明 \(\varphi(\mathcal{F})\)等度连续. 于是由Ascoli-Arzela定理知，\(\varphi(\mathcal{F})\)完全有界，即任意序列有收敛子列，像 \(\varphi\)这样将有界集映成完全有界集的映射在泛函分析中叫紧算子，证明一个算子是紧的通常就要用Ascoli-Arzela定理.