常微分方程（6）

线性微分方程组

一般理论

考虑标准形式的 \(n\)阶线性微分方程组 \[ \frac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}x}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x)y_j+f_i(x) \quad (i=1,2,\cdots ,n) \] 其中系数函数 \(a_{ij}(x)\)和 \(f_i(x)(i,j=1,2,\cdots ,n)\)在区间 \(a<x<b\)上都是连续的. 令矩阵 \[ \mathbf{A}(x)=(a_{ij}(x))_{n \times n} \] 和向量 \[ \mathbf{y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} , \quad \mathbf{f}(x)=\begin{pmatrix} f_1(x) \\ f_2(x) \\ \vdots \\ f_n(x) \end{pmatrix} \] 就可以将线性微分方程组写成向量形式 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{A}(x)\mathbf{y}+\mathbf{f}(x) \tag{1} \] 当 \(\mathbf{f}(x)\)不恒为零\((a<x<b)\)时，称（1）是非齐次的线性微分方程组；当 \(\mathbf{f}(x)\equiv \mathbf{0}\)时，亦即 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{A}(x)\mathbf{y} \tag{2} \] 称它是（相应）齐次的线性微分方程组.

注意由 \(\mathbf{A}(x)\)的连续性可知，在 \(x\)的任意有限闭区间上，函数 \(\mathbf{A}(x)\mathbf{y}\)对 \(\mathbf{y}\)满足Lipschitz条件.

存在和唯一性定理：线性微分方程组（1）满足初值条件 \[ \mathbf{y}(x_0)=\mathbf{y}_0 \tag{3} \] 的解 \(\mathbf{y}=\mathbf{y}(x)\)在区间 \(a<x<b\)上是存在和唯一的，其中初值 \(x_0 \in (a,b)\)和 \(\mathbf{y}_0 \in \mathbb{R}^n\)是任意给定的.

齐次线性微分方程组

引理6.1：齐次线性微分方程组的解满足线性性.

令（2）在区间 \((a,b)\)上所有的解所组成的集合为 \(S\). 显然 \(S\)是一个线性空间.

引理6.2：线性空间 \(S\)是 \(n\)维的（\(n\)是（2）的阶数）.

证：作初值到 \(S\)的同构.

定理6.1：齐次线性微分方程组（2）在区间 \(a<x<b\)上有 \(n\)个线性无关的解 \[ \mathbf{\varphi}_1,\mathbf{\varphi}_2,\cdots,\mathbf{\varphi}_n \tag{4} \] 而且它的通解为 \[ \mathbf{y}=C_1\mathbf{\varphi}_1(x)+\cdots +C_n\mathbf{\varphi}_n(x) \tag{5} \] 其中 \(C_1,\cdots ,C_n\)是任意常数.

证：利用引理6.2可得 \(S\)的一个基，它的线性组合就生成整个线性空间 \(S\).

称（2）的 \(n\)个线性无关的解为一个基本解组. 假设已知 \[ \mathbf{y}_1(x),\cdots ,\mathbf{y}_n(x) \tag{6} \] 是（2）的 \(n\)个解. 有一个在理论上比较简明的判别法

定理6.2：设在（6）中诸解的分量形式为 \[ \mathbf{y}_1(x)=\begin{pmatrix} y_{11}(x) \\ y_{21}(x) \\ \vdots \\ y_{n1}(x) \end{pmatrix}, \cdots \mathbf{y}_n(x)=\begin{pmatrix} y_{1n}(x) \\ y_{2n}(x) \\ \vdots \\ y_{nn}(x) \end{pmatrix} \] 称行列式 \[ \begin{vmatrix} y_{11}(x) & y_{12}(x) & \cdots & y_{1n}(x) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ y_{n1}(x) & y_{n2}(x) & \cdots & y_{nn}(x) \\ \end{vmatrix} \] 为解组（6）的朗斯基(Wronsky)行列式.

引理6.3：上述Wronsky行列式满足下面的Liouville公式： \[ W(x)=W(x_0) \mathrm{e}^ {\int_{x_0}^{x} \mathrm{tr} [\mathbf{A}(x)] \mathrm{d}x} \quad (a<x<b) \tag{7} \] 其中 \(x_0 \in (a,b)\)， 证：利用行列式的求导公式得到 \[ \mathbf{W}'=\mathrm{tr}[\mathbf{A}(x)]W \] 这是关于 \(W\)的一阶线性微分方程. 由此解出 \(W\).

【附注】由Liouville公式知，Wronsky行列式 \(W(x)\)在区间 \(a<x<b\)上要么恒为零，要么恒不为零.

定理6.2：线性微分方程组（2）的解组（6）是线性无关的充要条件为 \[ W(x) \neq 0 \quad (a<x<b) \tag{8} \]

证：用引理6.2中的同构即可.

推论6.1：解组（6）是线性相关的充要条件为 \[ W(x) \equiv 0 \quad (a<x<b) \]

而这也等价于在某一特殊点 \(x_0\)的 \(W(x_0)=0\).

对于解组（6），令矩阵 \(\mathbf{Y}(x)=(y_{ij}(x))_{n \times n}\)，它叫作方程组（2）的解矩阵. 易知 \(\mathbf{Y}(x)\)是方程组（2）的矩阵解.

当（6）是一个基本解组时，称相应的解矩阵 \(\mathbf{Y}(x)\)为一个基本解矩阵. 则若已知（2）的一个基解矩阵 \(\mathbf{\Phi}(x)\)，则由定理6.1知，它的通解为 \[ \mathbf{y}=\mathbf{\Phi}(x)\mathbf{c} \tag{9} \] 其中 \(\mathbf{c}\)是 \(n\)维的任意常数列向量.

推论6.2：（1）设 \(\mathbf{\Phi}(x)\)是方程组（2）的一个基解矩阵，则对于任一个非奇异的 \(n\)阶常数矩阵 \(\mathbf{C}\)，矩阵 \[ \mathbf{\Psi}(x)=\mathbf{\Phi}(x) \mathbf{C} \tag{10} \] 也是（2）的一个基解矩阵；

（2）设 \(\mathbf{\Phi}(x)\)和 \(\mathbf{\Psi}(x)\)都是方程组（2）的基解矩阵，则必存在一个非奇异的 \(n\)阶常数矩阵 \(\mathbf{C}\)，使得（10）成立.

证：这几乎是显然的，就是个线性方程组.

非齐次线性微分方程组

引理6.4：（2）的一个基解是 \(\mathbf{\Phi}(x)\)，\(\mathbf{\phi}^*(x)\)是（1）的一个特解，则（1）的任意解 \(\mathbf{y}=\mathbf{\varphi}(x)\)可以表示为 \[ \mathbf{\varphi}(x)=\mathbf{\Phi}(x)\mathbf{c}+\mathbf{\varphi}^*(x) \] 其中 \(\mathbf{c}\)是一个与 \(\mathbf{\varphi}(x)\)有关的常数列向量.

事实上，利用常数变易法，只要知道 \(\mathbf{\Phi}(x)\)就够了.

可以知道 \[ \mathbf{\varphi}^*(x)=\mathbf{\Phi}(x)\int_{x_0}^{x} \mathbf{\Phi}^{-1}(s)\mathbf{f}(s) \mathrm{d}s \tag{11} \] 是（1）的一个特解.

引理6.5：设 \(\mathbf{\Phi}(x)\)是（2）的一个基解矩阵，则（11）式给出非齐次线性微分方程组（1）的一个特解.

定理6.3：（1）的通解可以表示为 \[ \mathbf{y}=\mathbf{\Phi}(x) \biggl( \mathbf{c}+\int_{x_0}^{x} \mathbf{\Phi}^{-1}(s)\mathbf{f}(s) \mathrm{d}s \biggr) \tag{12} \] 其中 \(\mathbf{c}\)是 \(n\)维的任意常数列向量；而且（1）满足初值条件 \(\mathbf{y}(x_0)=\mathbf{y}_0\) 的解为 \[ \mathbf{y}=\mathbf{\Phi}(x)\mathbf{\Phi}^{-1}(x_0)\mathbf{y}_0+\mathbf{\Phi}(x) \int_{x_0}^{x} \mathbf{\Phi}^{-1}(x)\mathbf{f}(s) \mathrm{d}s \tag{13} \] 其中 \(x_0 \in (a,b)\).

一般来说， \(\mathbf{\Phi}(x)\)比较难解. 但其仍有很重要的理论意义.

常系数线性微分方程组

常系数线性微分方程组：指的是 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{A}\mathbf{y}+\mathbf{f}(x) \tag{14} \] 其中系数矩阵 \(\mathbf{A}\)为 \(n\)阶常数矩阵，而 \(\mathbf{f}(x)\)是在 \(a<x<b\)上连续的向量函数.

相应的线性齐次微分方程组为 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{A}\mathbf{y} \tag{15} \]

当 \(n\)=1 时，相应的线性齐次微分方程组成为 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=ay \] 其通解为 \(y=C\mathrm{e}^{ax}\)，我们尝试推广到高维情形.

矩阵指数函数

命题1：矩阵 \(\mathbf{A}\)的幂级数 \[ \mathbf{E}+\mathbf{A}+\frac{1}{2!}\mathbf{A}^{2}+\cdots +\frac{1}{k!}\mathbf{A}^{k}+\cdots \] 是绝对收敛的. 以记号 \(\mathrm{e}^{\mathbf{A}}\)（或 \(\exp \mathbf{A}\)）表示上述矩阵幂级数的和. 它也是一个矩阵.

命题2：关于矩阵指数函数的性质 - 若 \(\mathbf{AB}=\mathbf{BA}\)，则 \[ \mathrm{e}^{\mathbf{A}+\mathbf{B}}=\mathrm{e}^{\mathbf{A}}+\mathrm{e}^{\mathbf{B}} \] - 对任何矩阵 \(\mathbf{A}\)，\(\mathrm{e}^{\mathbf{A}}\)可逆且 \[ (\mathrm{e}^{\mathbf{A}})^{-1}=\mathrm{e}^{-\mathbf{A}} \] - 若 \(\mathbf{P}\)是一个非奇异的 \(n\)阶矩阵，则 \[ \mathrm{e}^{\mathbf{PAP^{-1}}}=\mathbf{P}\mathrm{e}^{\mathbf{A}}\mathbf{P}^{-1} \] 证明略

常系数齐次微分方程组的基解矩阵

定理6.4：\(\mathbf{\Phi}(x)=\mathrm{e}^{x\mathbf{A}}\)是（15）的一个标准基解矩阵（即 \(\mathbf{\Phi}(0)=\mathbf{E}\)）

证明略

推论6.3：常系数非齐次线性微分方程组（14）在区间 \((a,b)\)上的通解为 \[ \mathbf{y}=\mathrm{e}^{x \mathbf{A}}\mathbf{c}+\int_{x_0}^{x} \mathrm{e}^{(x-s) \mathbf{A}} \mathbf{f}(s) \mathrm{d}s \tag{16} \]

其中 \(\mathbf{c}\)为一任意的常数列向量；而（14）满足初值条件 \(\mathbf{y}(x_0)=\mathbf{y}_0\)的解为 \[ \mathbf{y}=\mathrm{e}^{(x-x_0) \mathbf{A}}\mathbf{y}_0+\int_{x_0}^{x} \mathrm{e}^{(x-s) \mathbf{A}} \mathbf{f}(s) \mathrm{d}s \tag{17} \] 其中 \(x_0 \in (a,b)\)

利用Jordan标准型求基解矩阵

对每个 \(n\)阶矩阵 \(\mathbf{A}\)，存在一个 \(n\)阶非奇异矩阵 \(\mathbf{P}\)，使得 \[ \mathbf{A}=\mathbf{PJP}^{-1} \] 其中 \(J\)为Jordan标准型

此时有 \[ \mathrm{e}^{x \mathbf{A}}=\mathrm{e}^{x \mathbf{PJP}^{-1}}=\mathbf{P} \mathrm{e}^{x \mathbf{J}}\mathbf{P}^{-1} \] 而 \(\mathrm{e}^{x \mathbf{A}}\mathbf{P} = \mathbf{P} \mathrm{e}^{x \mathbf{J}}\)也是一个基解矩阵.

然而 \(J\)和 \(P\)都很难求.

待定指数函数法

尝试把（16）应用于待定系数法

（一）\(A\)只有单的特征根 此时由 \[ \mathbf{\Phi}(x)=\mathrm{e}^{x \mathbf{A}} \mathbf{P}=\mathbf{P} \begin{pmatrix} \mathrm{e}^{\lambda_1x} & & & \\ & \mathrm{e}^{\lambda_2x} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \mathrm{e}^{\lambda_nx} \end{pmatrix} \] 且 \(\mathbf{\Phi}(0)=\mathbf{P}\). 由此可见 \[ \mathrm{e}^{x \mathbf{A}}=\mathbf{\Phi}(x)\mathbf{\Phi}^{-1}(0) \tag{18} \] 令 \(\mathbf{r}_i\)表示 \(\mathbf{P}\)的第 \(i\)列的向量，则基解矩阵 \[ \mathbf{\Phi}(x)=(\mathrm{e}^{\lambda_1x}\mathbf{r}_1,\mathrm{e}^{\lambda_2x}\mathbf{r}_2,\cdots ,\mathrm{e}^{\lambda_nx}\mathbf{r}_n) \] 下面寻找 \(\mathbf{r}_i\)的方法

引理：微分方程组（15）有非零解 \(\mathbf{y}=\mathrm{e}^{\lambda x}\mathbf{r}\)，当且仅当 \(\lambda\)是矩阵 \(\mathbf{A}\)的特征根，而 \(\mathbf{r}\)是与 \(\lambda\)相应的特征向量.

定理6.5：设 \(n\)阶矩阵 \(\mathbf{A}\)有 \(n\)个互不相同的特征根 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)，则矩阵函数 \[ \mathbf{\Phi}(x)=(\mathrm{e}^{\lambda_1x}\mathbf{r}_1,\mathrm{e}^{\lambda_2x}\mathbf{r}_2,\cdots ,\mathrm{e}^{\lambda_nx}\mathbf{r}_n) \] 是（15）的一个基解矩阵，其中 \(\mathbf{r}_i\)是 \(\mathbf{A}\)的与 \(\lambda_i\)相应特征向量.

证：注意不同特征根的特征向量线性无关.

我们可以加强定理6.5 定理6.5*：将 \(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots,\mathbf{r}_n\)改为矩阵 \(\mathbf{A}\)的 \(n\)个线性无关的特征向量，它们对应的特征根不必互不相同.

另外，定理6.5中的 \(\mathbf{\Phi}(x)\)可能是复矩阵，可以利用公式（18）求出实矩阵 \(\mathrm{e}^{x \mathbf{A}}\)

假设（15）有一个复值解 \[ \mathbf{y}_1=\mathbf{u}(x)+i \mathbf{v}(x) \] 则 \[ \mathbf{y}_2=\mathbf{u}(x)-i \mathbf{v}(x) \] 也是 (15)的一个复值解. 则它们的实部和复部都是（15）的解.

（二） \(\mathbf{A}\)有相重的特征根 在（15）的基解矩阵 \(\mathrm{e}^{x \mathbf{A}}\mathbf{P}\)的所有列向量中，与 \(\lambda_i\)相关的 \(n_i\)列都具有下列形式 \[ \mathbf{y}=e^{\lambda_i x} \biggl(\mathbf{r}_0+\frac{x}{1!}\mathbf{r}_1+\cdots +\frac{x^{n_i-1}}{(n_i-1)!}\mathbf{r}_{n_i-1} \biggr) \tag{19} \] 其中 \(\mathbf{r}_j(j=0,1,\cdots ,n_i-1)\)是 \(n\)维常数列向量.

引理6.7：设 \(\lambda_i\)是矩阵 \(\mathbf{A}\)的 \(n_i\)重特征根，则（15）有形如（19）的非零解的充要条件是： \(\mathbf{r}_0\)是齐次线性代数方程组 \[ (\mathbf{A}-\lambda_i \mathbf{E})^{n_i}\mathbf{r}=\mathbf{0} \tag{20} \] 的一个非零解，而且（19）中的 \(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots,\mathbf{r}_n\)是由下面的关系式逐次确定的： \[ \begin{cases} \mathbf{r}_1=(\mathbf{A}-\lambda_i \mathbf{E})\mathbf{r}_0 \\ \mathbf{r}_2=(\mathbf{A}-\lambda_i \mathbf{E})\mathbf{r}_1 \\ \cdots \cdots \\ \mathbf{r}_{n_i-1}=(\mathbf{A}-\lambda_i \mathbf{E})\mathbf{r}_{n_i-2} \end{cases} \tag{21} \]

证明略

定理6.6：设 \(n\)阶实矩阵 \(\mathbf{A}\)在 \(\mathbb{C}\)中的互不相同的特征根为 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s\)，它们的重数分别是 \(n_1,n_2,\cdots,n_s\)，则常系数齐次线性微分方程组（15）有基解矩阵 \(\mathbf{\Phi}(x)\)为 \[ \biggl( \mathrm{e}^{\lambda_1x}\mathbf{P}_1^{(1)}(x),\cdots ,\mathrm{e}^{\lambda_1x}\mathbf{P}_{n_1}^{1}(x);\cdots ;\mathrm{e}^{\lambda_s x}\mathbf{P}_1^{(s)}(x),\cdots ,\mathrm{e}^{\lambda_s x}\mathbf{P}_{n_s}^{(s)}(x) \biggr) \tag{22} \] 其中 \[ \mathbf{P}_j^{(i)}(x)=\mathbf{r}_{j0}^{(i)}+\frac{x}{1!}\mathbf{r}_{j1}^{(i)}+\frac{x^{2}}{2!}\mathbf{r}_{j2}^{(i)}+\cdots +\frac{x^{n_i-1}}{(n_i-1)!}\mathbf{r}_{jn_{i-1}}^{(i)} \tag{23} \] 是与 \(\lambda_i\)对应的第 \(j\)个向量多项式 \((i=1,2,\cdots ,s;j=1,2,\cdots ,n_i)\)，而 \(\mathbf{r}_{10}^{(i)},\cdots ,\mathbf{r}_{n_i 0}^{(i)}\)是齐次线性代数方程组（20）的 \(n_i\)个线性无关的解，且 \(\mathbf{r}_{jk}^{(i)}(i=1,2,\cdots ,s;j=1,2,\cdots ,n_i;k=1,2,\cdots ,n_i-1)\)是把 \(\mathbf{r}_{j0}^{(i)}\)代替（21）中的 \(\mathbf{r}_0\)而依次得出的 \(\mathbf{r}_k\). 即 \(\mathbf{r}_{j,k}^{(i)}=(\mathbf{A-\lambda_i E})\mathbf{r}_{j,k-1}^{(i)}\)

此外，当所得出的 \(\mathbf{\Phi}(x)\)是复值时，可利用之前的结论从 \(\mathbf{\Phi}(x)\)提取实值基解矩阵.

这定理挺不讲人话的，得到的每一列中的多项式系数，即诸 \(r\)在三个坐标的意义下是不相同的，每一类中最多到 \(x^{n_i-1}\)是因为 \(n_i\)重特征根 \(\lambda_i\)，求 \(n_i-1\)阶导后 \(\lambda_i\)仍为根.

证：由引理6.7知（22）中每一列确实是（15）的解. 只需证明 \(\mathbf{\Phi}(x)\)的各列线性无关. 这是因为 \[ \mathbf{\Phi}(0)= \biggl(\mathbf{r}_{10}^{(1)},\cdots ,\mathbf{r}_{n_1 0}^{(1)};\cdots ;\mathbf{r}_{10}^{(s)},\cdots ,\mathbf{r}_{n_s 0}^{(s)} \biggr) \] 取适当的 \({\mathbf{r}_{j 0}^{(i)}}\)使得它们彼此间线性无关，由Wronsky行列式相关结论知， \(\mathbf{\Phi}(x)\)是（15）的一个基解矩阵

高阶线性微分方程式

本节仅讨论含一个未知函数 \(y=y(x)\)的 \(n\)阶线性微分方程式 \[ y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_n(x)y=f(x) \tag{24} \] 其中 \(a_1(x),\cdots ,a_n(x)\)和 \(f(x)\)都是区间 \(a<x<b\)上的连续函数. 当 \(f(x)\)不恒为零时，称（24）为非齐次线性微分方程组；而与之相应的齐次线性方程组为 \[ y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_n(x)y=0 \tag{25} \] 引进新的未知函数 \[ y_1=y, y_2=y',\cdots ,y_n=y^{(n-1)} \tag{26} \] 则方程（24）等价于下面的线性微分方程组 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{A}(x)\mathbf{y}+\mathbf{f}(x) \tag{27} \] 其中 \(\mathbf{y}\)是诸 \(\mathbf{y}_i\)的列向量，\(\mathbf{f}\)是将 \(f(x)\)置于末位的列向量，\(\mathbf{A}(x)\)是一个Frobenius矩阵

\[ \mathbf{A}(x)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_n(x) & -a_{n-1}(x) & -a_{n-2}(x) & \cdots & -a_1(x) \end{pmatrix} \]

而（25）等价于 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{A}(x)\mathbf{y} \tag{28} \] 微分方程（24）满足初值条件的解在区间 \(a<x<b\)上是存在和唯一的.

高阶线性微分方程的一般理论

假设函数组 \[ \varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots,\varphi_n(x) \tag{29} \] 分别是齐次线性微分方程（28）的 \(n\)个解，其分别求相应阶导数后组合成的行列式称为（29）的Wronsky行列式.

把之前的定理转述到高阶情形

定理6.1*：齐次线性微分方程（25）在区间 \(a<x<b\)上存在 \(n\)个线性无关的解，它们具有（29）的形式，则（25）的通解是它们的线性组合.

定理6.2*：（29）线性无关的充要条件是它的Wronsky行列式在区间 \(a<x<b\)上恒不为零.

该定理成立需要（29）是一个齐次线性微分方程的解. 如果两个函数线性无关，但它们的Wronsky行列式恒为零，则不存在一个齐次线性微分方程的解是（29）

注意到 \(\mathbf{A}(x)\)的迹具有简单形式，故Liouville公式有简单形式 \[ W(x)=W(x_0)\mathrm{e}^{-\int_{x_0}^{x} a_1(s) \mathrm{d}s} \quad (a<x<b) \tag{30} \] 其中 \(W(x)\)是方程（25）的Wronsky行列式.

对于二阶齐次线性微分方程，可以从（25）的一个非零解导出它的通解.

设 \(y=\varphi(x)\)是方程 \[ y''+p(x)y'+q(x)y=0 \tag{31} \] 的一个非零解，其中 \(p(x)\)和 \(q(x)\)是区间 \(a<x<b\)上的连续函数，则（31）的通解为 \[ y=\varphi(x)\biggl[ C_1+C_2 \int_{x_0}^{x} \frac{1}{\varphi(s)^{2}}\mathrm{e}^{-\int_{x_0}^{x} p(t) \mathrm{d}t} \mathrm{d}s \biggr] \tag{32} \] 其中 \(C_1\)和 \(C_2\)为任意常数.

这只要写出Liouville公式即可.

运用常数变易法解非齐次的 定理6.3* 设 \(\varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots,\varphi_n(x)\)是齐次线性微分方程（25）在区间 \(a<x<b\)上的一个基本解组，则（24）的通解为 \[ y=C_1\varphi_1(x)+\cdots +C_n \varphi_n(x) +\varphi^*(x) \tag{33} \] 其中 \(C_i\)为常数 \[ \varphi^*(x)=\sum_{k=1}^{n} \varphi_k(x) \cdot \int_{x_0}^{x} \frac{W_k(s)}{W(s)}f(s) \mathrm{d}s \tag{34} \]

这里 \(W(x)\)是诸 \(\varphi_i(x)\)的Wronsky行列式，而 \(W_k(x)\)是 \(W(x)\)中第 \(n\)行第 \(k\)列元素的代数余子式.

证：只要证明 \[ \mathbf{\Phi}(x) \int_{x_0}^{x} \mathbf{\Phi}^{-1}(s)\mathbf{f}(s) \mathrm{d}s \] 的第一个分量就是 \(\varphi^*(x)\).

这运用一些矩阵的计算是不难的.

对于二阶的非齐次情况 设 \(y=\varphi(x)\)是方程 \[ y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \tag{35} \] 的相应齐次方程的两个线性无关的特解 \(y=\varphi_1(x)\)与 \(y=\varphi_2(x)\). \(p(x),q(x),f(x)\)在 \(a<x<b\)上连续.

一般来说，运用常数变易法时，与系数为常数相比求导后会多出几项. 我们希望求导后也能有与系数为常数时同样的形式，同时也是为了方便起见，会令多出的几项为零. 这相当于主动增加了一个约束条件，但通常是值得的.

常系数高阶线性微分方程

对于 \(n\)阶常系数微分方程 \[ y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_ny=f(x) \tag{36} \] 和相应的 \[ y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_ny=0 \tag{36} \] 其中 \(a_1,\cdots ,a_n\)是实常数，而 \(f(x)\)是区间 \(a<x<b\)上的实值连续函数.

（36）等价于方程 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{Ay} \] 其中 \[ \mathbf{A}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_1 \end{pmatrix} \tag{37} \] 矩阵 \(\mathbf{A}\)的特征方程为 \[ \lambda^{n}+a_1\lambda^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda+a_n=0 \tag{38} \] 它也叫（36）的特征方程.

定理6.6*：设（36）的特征方程（38）在 \(\mathbb{C}\)上有 \(s\)个互不相同的根 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s\)，且对应的重数分别为 \(n_i\). 则函数组 \[ \begin{cases} \mathrm{e}^{\lambda_1x} , x\mathrm{e}^{\lambda_1x} ,\cdots ,x^{n_1-1}\mathrm{e}^{\lambda_1x} ; \\ \cdots \\ \mathrm{e}^{\lambda_sx} ,x\mathrm{e}^{\lambda_sx},\cdots ,x^{n_s-1}\mathrm{e}^{\lambda_sx} \tag{39} \end{cases} \] 是（36）的一个基本解组. （注意这是 \(n\)个函数）

证：找一个基解矩阵使得它的第一行元素恰为（39）. 由矩阵论知识知 \(\mathbf{A}\)的Jordan标准型 \(\mathbf{J}\)中相应于某个 \(\lambda_k\)的Jordan块只有一个.

一个重要的观察是：矩阵 \(\mathbf{P}=(p_{ij})\)的第一行元素满足下面的性质 \[ p_{1m_j} \neq 0 \quad (j=1,2,\cdots ,s) \tag{40} \] 其中 \[ m_1=1,m_2=n_1+1,\cdots ,m_s=n_1+\cdots +n_{s-1}+1 \] 事实上，若某个 \(p_{1m_j}=0\)，则观察 \(\mathbf{AP}\)的第 \(m_j\)列，该列前 \(n-1\)行均为零，对应到 \(\mathbf{PJ}\)中得到 \(\mathbf{P}\)的第 \(m_j\)列全为零，与 \(\mathbf{P}\)非退化矛盾.

写出基解矩阵 $^{x }= $的第一行，利用（40），可以对 \(\mathbf{PJ}\)作初等列变换，消去多余项，就可以得到（39）中的形式.

【注】当特征方程有复根时，复根成对出现，可以提取实部虚部得到相应实值解，应该实际上是实化的想法.

对于一些特殊的 \(f(x)\)，可以凭借经验推测 \(\varphi^*(x)\) 例： \[ f(x)=P_m(x)\mathrm{e}^{\mu x} \] 其中 \(P_m(x)\)表示 \(x\)的 \(m\)次多项式. 那么当 \(\mu\)不是方程（36）的特征根时，预测（35）有如下形式的特解 \[ \varphi^*(x)=Q_m(x)\mathrm{e}^{\mu x} \] 其中 \(m\)次多项式 \(Q_m(x)\)的系数待定.

当 \(\mu\)是 \(k\)重特征根时，则令 \[ \varphi^*(x)=x^kQ_m(x)\mathrm{e}^{\mu x} \]

例： \[ f(x)=[A_m(x)\cos (\beta x)+B_l(x) \sin (\beta x)] \mathrm{e}^{\alpha x} \] 其中 \(A_m(x)\)和 \(B_l(x)\)分别是 \(x\)的 \(m\)次和 \(l\)次多项式. 那么相应特解的形式是 \[ \varphi^*(x)=x^{k}[C_n(x)\cos (\beta x)+D_n(x) \sin (\beta x)] \mathrm{e}^{\alpha x} \] 其中非负整数 \(k\)是 \(\alpha \pm i\beta\)作为（36）的特征根的重数（\(k\)可以取0），\(n= \max\{m,l\}\)，而 \(n\)次多项式 \(C_n(x)\)和 \(D_n(x)\)系数待定.

例（Euler方程）： \[ x^{n}y^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}xy'+a_ny=0 \] 其中 \(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)都是常数， \(x>0\).

做代换 $x=^{t} $，记微分算子 \(D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\)

可以归纳得到 \[ x^{k}y^{(k)}=D(D-1)\cdots (D-k+1)y \] 代回Euler方程，得到关于 \(t\)的常系数线性微分方程，最终用 \(t= \ln x\)反代即得解.

例：考虑微分方程 \[ y''+p(x)y'+q(x)y=0 \tag{41} \] 其中 \(p(x)\)和 \(q(x)\)是区间 \(I:a<x<b\)上的连续函数. 设 \(y=\varphi(x)\)是方程（41）在区间 \(I\)上的一个非零解，则 \(\varphi(x)\) 在区间 \(I\)上只有一阶零点，从而 \(\varphi(x)\)在任意有限闭区间上至多有有限个零点，从而每个零点是孤立的.

证：这可以由解的唯一性得到.