常微分方程（5）

高阶微分方程

首先各未知函数微商的最高阶数之和叫作该微分方程的阶，它可以部分反应求解的难度. 因此降阶是非常重要的一步.

几个例子

不明显包含自变量的方程叫作自治（或驻定）的，对它们可以进行降阶. 例如，考虑n阶的自治微分方程 \[ F\biggl(y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\cdots ,\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}\biggr)=0 \tag{1} \] 令 \(z=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)，则有关系式 \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=z\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \\ \displaystyle \frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\biggl(z\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\biggr)=z^2\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}y^2}+z \biggl(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\biggr) \\ \cdots \\ \displaystyle \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}=\varphi\biggl(z,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y},\cdots ,\frac{\mathrm{d}^{n-1}z}{\mathrm{d}y^{n-1}}\biggr) \end{cases} \] 然后，把它们代入（1），就得到一个 \(n-1\)阶的微分方程 \[ F_1\biggl(y,z,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y},\cdots ,\frac{\mathrm{d}^{n-1}z}{\mathrm{d}y^{n-1}}\biggr)=0 \] 其中 \(z\)是未知函数，而 \(y\)是自变量.

与之相关有轨线、相平面、相图的概念. 【例1】单摆方程：直接给出要解的微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+a^{2}\sin x=0 \] 其中常数 \(a=\sqrt{g/l}>0\).

两边乘 \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\)，再积分得 \[ \frac{1}{2} \biggl(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \biggr)^{2}-a^{2}\cos x=-\frac{1}{2}C_1 \] 把这种由高阶微分方程积分一次得到的关系式称为首次积分 继续解该方程得到通积分，包含椭圆函数，可以利用 \(\sin x \thickapprox x\)，接下去变成物理中的推导，略.

【例2】悬链线方程：在数学分析中，已经用变分法求得了悬链线的方程（摆线），这里可以从微分方程的角度再看一下（其实也是类似的）. 直接给出要解的微分方程 \[ y''=a \sqrt{1+(y')^{2}} \tag{2} \] 其中 \(a=\gamma/H_0\)是常数. 且满足边值条件 \[ y(x_1)=y_1, \quad y(x_2)=y_2 \tag{3} \] 这是一个边值问题. 令 \(z=y'\)可以降为一阶微分方程 \[ z'=a \sqrt{1+z^{2}} \] 而且它是变量分离的. 容易求出它的通解 \[ z= \sinh a(x+C_1) \] 其中 \(C_1\)是一个任意常数. 由此再积分得到通解
\[ y=\frac{1}{a} \cosh a(x+C_1) +C_2 \tag{4} \] 其中 \(C_2\)是第二个任意常数.

利用边值条件（2）和（3）可唯一确定 \(C_1\)和 \(C_2\). 最终答案是一个双曲余弦函数. 问题此时还没有完全解决. 还需要利用悬链线的长度解曲线积分，利用边值条件的高度差求解常数.

【例3】二体问题：由Newton's Law得到一个6阶的微分方程组，可以推出运动的轨道永远在一个平面上，不妨设为平面 \(z=0\). 此时降为一个4阶方程. 以下求解过程略.

n维线性空间中的微分方程

设 \(n\)阶微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}=F \biggl(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\cdots ,\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} \biggr) \tag{5} \] 这里 \(x\)是自变量，而 \(y\)是未知函数 令 \[ y_1=y,y_2=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\cdots ,y_n=\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} \] 则微分方程（5）等价于下列 \(n\)阶标准微分方程组 \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}x}=y_2 \\ \cdots \\ \displaystyle \frac{\mathrm{d}y_{n-1}}{\mathrm{d}x}=y_n \\ \displaystyle \frac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}x}=F(x,y_1,y_2,\cdots ,y_n) \end{cases} \] 对于未知数个数等于微分方程阶数的方程，可以通过换元写成标准形式 \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}x}=f_1(x,y_1,y_2,\cdots,y_n), \\ \displaystyle \frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}x}=f_2(x,y_1,y_2,\cdots,y_n), \\ \cdots \\ \displaystyle \frac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}x}=f_n(x,y_1,y_2,\cdots,y_n), \end{cases} \tag{6} \] 其中 \(f_1,f_2,\cdots,f_n\)是变元 \((x,y_1,y_2,\cdots,y_n)\)在某个区域 \(D\)内的连续函数.

可以令 \(n\)维的行向量 \[ y=(y_1,y_2,\cdots,y_n) \in \mathbb{R}^{n} \] 令 \[ f_i(x,\mathbf{y})=f_i(x,y_1,y_2,\cdots,y_n) \] \(i=1,2,\cdots ,n\)和 \[ \mathbf{f}(x, \mathbf{y})=(f_1(x,\mathbf{y}),\cdots ,f_n(x,\mathbf{y})) \in \mathbb{R}^{n} \] 而且规定 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}= \biggl( \frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}x},\cdots,\frac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}x} \biggr) \] 则微分方程组（6）的向量形式为 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{f}(x, \mathbf{y}) \tag{7} \] 其中 \(\mathbf{f}(x, \mathbf{y})\)是关于变元 \((x, \mathbf{y})\in D\)的一个 \(n\)维向量值函数. 一般还应给出初值条件 \[ \mathbf{y}(x_0)=\mathbf{y}_0 \] 其中的初值点 \((x_0, \mathbf{y}_0)\in D \subset \mathbb{R}^{n+1}\).

在 \(\mathbb{R}^{n}\)中引入模后可以用完全一致的方法证明Picard定理和Peano定理

如果在方程（6）中函数 \(f_1,f_2,\cdots,f_n\)都是对于 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\)的线性函数，即 \[ f_k(x,y_1,y_2,\cdots,y_n)=\sum_{i=1}^{n} a_{ik}(x)y_i+e_k(x) \] \((k=1,2,\cdots ,n)\)，则称微分方程（6）或（7）是线性的；否则称为非线性的.

线性微分方程组 \[ \frac{\mathrm{d}y_k}{\mathrm{d}x}=\sum_{i=1}^{n} a_{ik}(x)y_i+e_k(x) \] \((k=1,2,\cdots ,n)\)的向量形式可以写成 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{y}\mathbf{A}(x)+\mathbf{e}(x) \] 其中向量 \(\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)\)和 \(\mathbf{e}(x)=e_1(x),e_2(x),\cdots,e_n(x)\)，而矩阵 \(\mathbf{A}(x)=(a_{ik}(x))_{n \times n}\). 若采用列向量的写法，则 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{A}(x)\mathbf{y}+\mathbf{e}(x) \tag{8} \] 这种形式比较常见.

设 \(\mathbf{A}(x)\)和 \(\mathbf{e}(x)\)在区间 \(a<x<b\)上连续，则线性微分方程（8）满足任何初值条件 \[ \mathbf{y}(x_0)=y_0 \quad (a<x_0<b), \mathbf{y}_0 \in \mathbb{R}^{n} \] 的解 \(\mathbf{y}=\mathbf{y}(x)\)在整个区间 \(a<x<b\)上存在且唯一.

解对初值和参数的连续依赖性

不失一般性，只讨论初值问题 \[ (E_{\lambda}): \quad \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{f}(x,\mathbf{y},\mathbf{\lambda}),\quad \mathbf{y}(0)=\mathbf{0} \] 的解 \(\mathbf{y}=\mathbf{\varphi}(x,\mathbf{\lambda})\)对参量 \(\mathbf{\lambda}\)的依赖性，其中 \(\mathbf{\lambda}\)是 \(m\)维的参数向量.

定理5.1：设 \(n\)维向量值函数 \(\mathbf{f}(x,\mathbf{y},\mathbf{\lambda})\)在区域 \[ G: \quad \left\vert x \right\vert \leqslant a, \quad \left\vert \mathbf{y} \right\vert \leqslant b, \quad \left\vert \mathbf{\lambda}-\mathbf{\lambda}_0 \right\vert \leqslant c \] 上是连续的，而且对 \(\mathbf{y}\)满足Lipschitz条件 \[ \left\vert \mathbf{f}(x,\mathbf{y}_1,\mathbf{\lambda})-\mathbf{f}(x,\mathbf{y}_2,\mathbf{\lambda}) \right\vert \leqslant L\left\vert \mathbf{y}_1-\mathbf{y}_2 \right\vert \] 其中常数 \(L\geqslant 0\). 令正数 \(M\)为 $(x,,) $在区域 \(G\)的一个上界，而且令 \[ h= \min \biggl(a,\frac{b}{M} \biggr) \] 则初值问题 \((E_\lambda)\)的解 \(\mathbf{y}=\mathbf{\varphi}(x,\mathbf{\lambda})\)在区域 \[ D: \quad \left\vert x \right\vert \leqslant h, \quad \left\vert \mathbf{\lambda}-\mathbf{\lambda}_0 \right\vert \leqslant c \] 上是连续的.

证：先证明初值问题 \((E_\lambda)\)的Picard序列 \(\{\mathbf{\varphi}_k(x,\mathbf{\lambda})\}\)对参数 \(\mathbf{\lambda}\)的连续性（和可微性）；再证明 \(\mathbf{\varphi}_k(x,\mathbf{\lambda})\)是一致收敛的，而且它的极限函数 \(\mathbf{y}=\mathbf{\varphi}(x,\mathbf{\lambda})\) 是 \((E_\lambda)\)的解.

推论：设 \(n\)维向量值函数 \(f(x,\mathbf{y})\)在区域 \[ R: \quad \left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant a, \quad \left\vert y-y_0 \right\vert \leqslant b \] 上连续，而且对 \(\mathbf{y}\)满足Lipschitz条件. 则微分方程初值问题 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{f}(x,\mathbf{y}),\quad \mathbf{y}(x_0)=\eta \tag{9} \] 的解 \(\mathbf{y}=\mathbf{\varphi}(x,\mathbf{\eta})\)在区域 \[ Q: \quad \left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant \frac{h}{2}, \quad \left\vert \mathbf{\eta}-\mathbf{y_0} \right\vert \leqslant \frac{b}{2} \] 上是连续的，其中 \[ h=\min \biggl(a,\frac{b}{M} \biggr) \] 而正数 \(M\)为 $f(x,) $在区域 \(R\)上的一个上界.

解的存在性可由局部延伸到大范围. 解对初值（或参数）的连续性（和可微性）也有类似的如下结论.

定理5.2：设 \(n\)维向量值函数 \(\mathbf{f}(x,\mathbf{y})\)在 \((x,\mathbf{y})\)空间内的某个开区域上是连续的，而且对 \(\mathbf{y}\)满足局部 Lipschitz条件. 假设 \(\mathbf{y}= \mathbf{\xi}(x)\)是微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{f}(x,\mathbf{y})\tag{10} \] 的一个解，令它的存在区间为 \(J\). 现在，在区间 \(J\)内任取一个有界闭区间 \(a\leqslant x\leqslant b\). 则存在常数 \(\delta>0\)，使得对任何初值 \((x_0,\mathbf{y}_0)\)， \[ a\leqslant x_0\leqslant b, \quad \left\vert \mathbf{y}_0-\mathbf{\xi}(x_0) \right\vert \leqslant \delta \] Cauchy问题 \[ (E): \quad \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{f}(x,\mathbf{y}),\quad \mathbf{y}(x_0)=y_0 \] 的解 \(\mathbf{y}=\mathbf{\varphi}(x;x_0,\mathbf{y}_0)\)也至少在区间 \(a\leqslant x\leqslant b\)上存在，并且它在闭区域 \[ D_\delta: \quad a\leqslant x\leqslant b, a\leqslant x_0 \leqslant b, \left\vert \mathbf{y}_0-\mathbf{\xi}(x_0) \right\vert \leqslant \delta \] 上是连续的.

证：用有限覆盖定理将局部Lipschitz条件化为整体Lipschitz条件，然后构造Picard序列证明.

最后提一下习题中的一个问题：如果 \(\mathbf{f}(x,\mathbf{y})\)在区域 \(R\)连续，且微分方程 \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}\mathbf{f}(x,\mathbf{y})\)经过区域 \(R\)任意一点的解都存在且唯一，则这些解关于初值连续依赖.

设经过 \((x_0,\mathbf{y}_0)\)的解是 \(\mathbf{y}=\mathbf{\phi}(x;x_0,\mathbf{y}_0)=\mathbf{\psi}_{x_0,\mathbf{y}_0}(x)\). 首先 \(\mathbf{\psi}\)当然是关于 \(x\)连续的（因为可微），且 \(\mathbf{\psi}_{x_0,\mathbf{y}_0}(x_0)=\mathbf{y}_0\). 假设 \(\mathbf{\varphi}\)关于 \((x_0, \mathbf{y}_0)\)不连续，间断点是 \((x_0^*,\mathbf{y}_0^*\). 任取 \(\varepsilon>0\)，由唯一性和连续性知不连续的表达式在 \(d((\widetilde{x}_0,\mathbf{\widetilde{y}}_0),(x_0^*,\mathbf{y}_0^*))\)足够小时不可能成立.

解对初值和参数的连续可微性

不失一般性，只考虑微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{f}(x,\mathbf{y},\mathbf{\lambda}) \tag{11} \] 满足初值条件 \[ \mathbf{y}(0)=\mathbf{0} \] 的解 \(\mathbf{y}=\varphi(x,\mathbf{\lambda})\)对参数 \(\mathbf{\lambda}\)的连续可微性.

定理5.3：设 \(\mathbf{f}(x.\mathbf{y}.\mathbf{\lambda})\)在区域 \[ G: \quad \left\vert x \right\vert \leqslant a, \quad \left\vert \mathbf{y} \right\vert \leqslant b, \quad \left\vert \mathbf{\lambda}-\mathbf{\lambda}_0 \right\vert\leqslant c \] 上连续，且对 \(\mathbf{y}\)和 \(\lambda\)有连续偏微商. 则微分方程（11）满足初值条件 \(\mathbf{y}(0)=\mathbf{0}\)的解 \(\mathbf{y}=\mathbf{\varphi}(x,\mathbf{\lambda})\)在区域 \[ D: \quad \left\vert x \right\vert \leqslant h, \quad \left\vert \mathbf{\lambda}-\mathbf{\lambda}_0 \right\vert \leqslant c \] 上是连续可微的，其中正数 \(h\)的定义同定理5.1.

证：首先化成积分方程 \[ \mathbf{y}=\int_{0}^{x} \mathbf{f}(x,\mathbf{y},\mathbf{\lambda}) \mathrm{d}x \] 构造它的Picard序列，由定理5.1知Picard序列 \(\mathbf{\varphi}_k(x,\mathbf{\lambda})\)在区域 \(D\)上一致收敛到方程（11）的唯一解 \(\mathbf{y}=\mathbf{\varphi}(x,\mathbf{\lambda})\). 其次，为了证明 \(\mathbf{y}=\mathbf{\varphi}(x,\mathbf{\lambda})\)对 \(\mathbf{\lambda}\)有连续的偏微商 \(\frac{\partial \mathbf{\varphi}}{\partial \mathbf{\lambda}}(x,\mathbf{\lambda})\)，证明序列 \(\frac{\partial \mathbf{\varphi}_k}{\partial \mathbf{\lambda}}(x,\mathbf{\lambda})\)对 \((x,\mathbf{\lambda}) \in D\)一致收敛. 归纳证明辅助不等式 \[ \left\vert \frac{\partial \mathbf{\varphi}}{\partial \mathbf{\lambda}} \right\vert \leqslant \exp (\alpha h) \] 其中 \(\alpha\)是区域 \(G\)上 \(\displaystyle \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{y}}(x,\mathbf{y},\mathbf{\lambda})\)和 \(\displaystyle \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{\lambda}}(x,\mathbf{y},\mathbf{\lambda})\)的共同上界.

再次，利用Cauchy收敛准则证明 \[ v_{k,s}=\left\vert \frac{\partial \mathbf{\varphi}_{k+s}}{\partial \mathbf{\lambda}}-\frac{\partial \mathbf{\varphi}_k}{\partial \mathbf{\lambda}} \right\vert \] 一致趋于0.

最后，由 \[ \frac{\partial \mathbf{\varphi}}{\partial x}(x,\mathbf{\lambda})=\mathbf{f}(x,\mathbf{\varphi}(x,\mathbf{\lambda}),\mathbf{\lambda}) \] 知 \(\displaystyle \frac{\partial \mathbf{\varphi}}{\partial x}(x,\mathbf{\lambda})\)对 \((x,\mathbf{\lambda}) \in D\)也是连续的.

推论：设 \(n\)维向量值函数 \(\mathbf{f}(x,\mathbf{y})\)在区域 \[ R: \quad \left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant a, \quad \left\vert y-y_0 \right\vert \leqslant b \] 上连续，而且对 \(\mathbf{y}\)有连续的偏微商 \(\mathbf{f}'_{\mathbf{y}}(x,\mathbf{y})\). 则初值问题 \[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}x}=\mathbf{f}(x,\mathbf{y}), \quad \mathbf{y}(x_0)=\mathbf{\eta} \] 的解 \(\mathbf{y}=\mathbf{\varphi}(x,\mathbf{\eta})\)在区域 \[ D: \quad \left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant \frac{h}{2}, \quad \left\vert \mathbf{\eta}-\mathbf{y}_0 \right\vert \leqslant \frac{b}{2} \] 上是连续可微的.

【附注】假设 \(y\)和 \(\lambda\)都是一维的，并且定理5.3及其推论的条件成立，则初值问题 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x, y, \lambda), \quad y(x_0)=y_0 \tag{12} \] 的解 \(y=\varphi(x;x_0,y_0,\lambda)\)对初值 \(x_0\)，\(y_0\)及参数 \(\lambda\)的偏导数 \(\displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial x_0}\)， \(\displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial y_0}\)和 \(\displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial \lambda}\)分别在它们有定义的区域内连续可微.

在与之等价的积分方程 \[ \varphi(x;x_0,y_0,\lambda)=y_0+\int_{x_0}^{x} f(x,\varphi(x;x_0,y_0,\lambda),\lambda) \mathrm{d}x \tag{13} \] 两端分别对 \(x_0\)，\(y_0\)和 \(\lambda\)求偏导数可以得到三个一阶线性微分方程，把它们叫（12）关于初值 \(x_0\)，\(y_0\)和参数 \(\lambda\)的变分方程（回忆变分法的两个经典例子）