常微分方程（3）

存在和唯一性定理

Picard 存在和唯一性定理

定理3.1 设初值问题 \[ (E):\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x, y),\quad y(x_0)=y_0 \tag{1} \] 其中 \(f(x, y)\)在矩形区域 \[ R: \qquad \left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant a,\quad \left\vert y-y_0 \right\vert \leqslant b \] 内连续，而且对 \(y\) 满足Lipschitz条件，则 \((E)\)在区间 \(I=[x_0-h,x_0+h]\)上有且仅有一个解，其中常数 \[ h= \min\biggl\{a,\frac{b}{M}\biggr\},\quad M>\max_{(x, y)\in R} \left\vert f(x, y) \right\vert \]

证：将微分方程(1)化为积分方程，构造Picard序列 \[ y_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^{x} f(x,y_n(x)) \mathrm{d}x \] 用上确界判则证明 $y_{n+1}(x)-y_n(x) $在 \(I\)上一致收敛. 注意用Lipschitz条件作指数型估计. 证明唯一性也运用Lipschitz条件迭代得到.

有了Picard定理，对于一般微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x, y) \tag{2} \] 只要能判别函数 \(f(x, y)\)在某个区域 \(D\) 内连续并且对 \(y\)有连续偏导数或满足Lipschitz条件，我们就可以断言区域 \(D\)内经过每一点有并且只有一个解.

Osgood 条件：设函数 \(f(x, y)\)在区域 \(G\)内连续，而且满足不等式 \[ \left\vert f(x, y_1)-f(x, y-2)\right\vert\leqslant F(\left\vert y_1-y_2 \right\vert) \] 其中 \(F(r)>0\)是 \(r>0\)的连续函数，而且瑕积分 \[ \int_{0}^{r_1} \frac{1}{F(r)} \mathrm{d}r=\infty \] \(r_1>0\)为常数. 则称 \(f(x, y)\)在 \(G\)内对 \(y\)满足Osgood条件. 取 \(F(r)=Lr\)知，Lipschitz条件是Osgood条件的特例.

定理3.2：设 \(f(x, y)\)在区域 \(G\)内对 \(y\)满足Osgood条件，则微分方程(2)在 \(G\)内经过每一点的解都是唯一的.

证：反证法.

Muller 的反例：不满足Lipschitz条件时，定理3.1中构造的Picard序列不一定是收敛的.

设初值问题 \[ (E_0):\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F(x, y),\quad y(0)=0 \] 其中函数 \[ F(x, y)= \begin{cases} 0, \qquad x=0,-\infty<y<\infty; \\ 2x,\qquad 0<x\leqslant 1, -\infty<y<0; \\ 2x-\displaystyle{\frac{4y}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1, 0\leqslant y<x^{2}; \\ -2x,\qquad 0<x\leqslant 1,x^{2}\leqslant y<\infty \\ \end{cases} \] 容易验证，函数 \(F(x, y)\)在条形区域 \[ S:\qquad 0\leqslant x\leqslant 1,\quad -\infty<y<\infty \] 内是连续的，可是对 \(y\)不满足Lipschitz条件.

对于上述初值问题 \((E_0)\)，我们有Picard序列 \[ y_{n+1}(x)=y_0+\int_{0}^{x} f(x,y_n(x)) \mathrm{d}x \quad(y_0(x)=0) \] \((0\leqslant x\leqslant 1;n=0,1,2,\cdots )\). 而且容易推出 \[ y_n(x)=(-1)^{n+1}x^2 \quad (0\leqslant x\leqslant 1) \] \((n=1,2,\cdots )\). 由此可见，初值问题 \((E_0)\)的Picard序列是不收敛的. 然而 \(y=\frac{1}{3}x^2(0\leqslant x\leqslant 1)\)是 \((E_{0})\)的唯一解.

Peano 存在定理

说明：这个定理说明了，在Picard定理中如果只假定 \(f(x, y)\)在 \(R\)内的连续性，那么利用Euler折线仍可证明初值问题 \((E)\)的解在区间 \(\left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant h\)上是存在的（但不一定是唯一的）.

Euler 折线

定义比较繁琐，大概就是将区间划分，从中心点开始向左右，各作一条折线，在每个分点沿线素方向构造一条小折线段.

令Euler折线 \(\gamma_n\)的表达式为 \[ y=\varphi_n(x) \quad (\left\vert x-x_0 \right\vert <h) \tag{3} \]

Euler折线的计算公式： \[ \varphi_n(x)=y_0+\sum_{k=0}^{s-1} f(x_k, y_k)(x_{k+1}-x_k)+f(x_s, y_s)(x-x_s), \quad x_s<x\leqslant x_{0}+h \] 和 \[ \varphi_n(x)=y_0+\sum_{k=0}^{-s+1} f(x_k, y_k)(x_{k-1}-x_k)+f(x_{-s}, y{-s})(x-x_{-s}), \quad x_0-h\leqslant x<x_0 \] 下面证明Euler折线在区间 \(\left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant h\)上收敛（或至少有一个收敛的子序列）.

Ascoli 引理

设函数列 \[ f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x) \] 在有限闭区间 \(I\)上是一致有界和等度连续的，则可以选取它的一个子序列 \[ f_{n_1}(x),f_{n_2}(x),\cdots,f_{n_k}(x) \] 使它在区间 \(I\)上是一致收敛的.

Peano 存在定理

引理3.1 Euler序列(3)在区间 \(\left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant h\)上至少有一个一致收敛的子序列.

证：由Ascoli 引理显然.

引理3.2 Euler折线 \(y=\varphi_n(x)\)在区间 \(\left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant h\)上满足关系式 \[ \varphi_n(x)=y_0+\int_{x_0}^{x} f(x,\varphi_n(x)) \mathrm{d}x+\delta_n(x) \] 其中函数 \(\delta_n(x)\)趋于零，即 \[ \lim_{n \to \infty}\delta_n(x)=0 \quad(\left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant h) \] 证：omitted.

定理3.3（Peano 存在定理）：设函数 \(f(x, y)\)在矩形区域 \(R\)内连续，则初值问题 \[ (E):\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x, y),\quad y(x_0)=y_0 \tag{4} \] 在区间 \(\left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant h\)上至少有一个解 \(y=y(x)\)，这里矩形区域 \(R\)和正数 \(h\)的定义同定理3.1.

证：用引理3.1取一个一致收敛的子函数列，再用引理3.2取 \(k \to \infty\)即可.

反例：若不要求 \(f(x, y)\)的连续性，那么上面的初值问题 \((E)\)可能是无解的. 例如，设函数 \[ f^*(x, y)= \begin{cases} 1,\qquad 1\leqslant \left\vert x+y \right\vert <\infty \\ (-1)^{n}, \qquad \frac{1}{n+1}\leqslant \left\vert x+y \right\vert \leqslant \frac{1}{n} \quad (n=1,2,\cdots ) \\ 0, \qquad \left\vert x+y \right\vert =0 \end{cases} \] 则用反证法易证初值问题 \[ (E^*): \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^*(x, y), \quad y(0)=0 \] 没有（连续的）解.

解的延伸

本节的目的是把初值问题解的存在性从局部扩大到整体.

设微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x, y) \tag{5} \] 其中函数 \(f(x, y)\)在区域 \(G\)内连续.

定理3.4：设 \(P_0\)为区域 \(G\)内任一点，并设 \(\Gamma\)为微分方程(5)经过 \(P_0\)点的任一条积分曲线. 则积分曲线 \(\Gamma\)将在区域 \(G\)内延伸到边界（换句话说，对于任何有界闭区域 \(G(P_0 \in G_1 \subset G)\)，积分曲线 \(\Gamma\)将延伸到 \(G_1\)之外）.

推论：设函数 \(f(x, y)\)在区域 \(G\)内连续，而且对 \(y\)满足局部Lipschitz条件，则微分方程(5)经过 \(G\)内任一点 \(P_0\)存在唯一的积分曲线 \(\Gamma\)，并且 \(\Gamma\)在 \(G\)内延伸到边界.

这两个结论说明了最大存在区间的形式：开区间. 比如微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^{2}+y^{2} \] 任一解的存在区间是有界的.

这个推论十分重要.一般遇到的大量微分方程都满足推论的条件.

在特定的条件下，对解的存在区间可以作出先验断言. 定理3.5：设微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x, y) \tag{6} \] 其中函数 \(f(x, y)\)在条形区域 \[ S: \qquad \alpha<x<\beta,\quad -\infty<y<\infty \] 内连续，而且满足不等式 \[ \left\vert f(x, y) \right\vert \leqslant A(x)\left\vert y \right\vert +B(x) \] 其中 \(A(x)\geqslant 0\)和 \(B(x)\geqslant 0\)在区间 \(\alpha<x<\beta\)上是连续的. 则微分方程(6)的每一个解都以区间 \(\alpha<x<\beta\)为最大存在区间.

比较定理及其应用

在上节看到，仅应用延伸定理无法对微分方程的解的存在区间作出估计. 下面几个定理是对此的讨论 定理3.6（第一比较定理）：设函数 \(f(x, y)\)与 \(F(x, y)\)都在平面区域 \(G\)内连续且满足不等式 \[ f(x, y)<F(x, y),\quad (x, y) \in G \] 又设函数 \(y=\varphi(x)\)与 \(y=\Phi(x)\)在区间 \(a<x<b\)上分别是初值问题 \[ (E_1):\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x, y),\quad y(x_0)=y_0 \] 与 \[ (E_2):\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F(x, y),\quad y(x_0)=y_0 \] 的解，其中 \((x_0,y_0)\in G\). 则我们有 \[ \begin{cases} \varphi(x)<\Phi(x),\qquad x_0<x<b \\ \varphi(x)>\Phi(x),\qquad a<x<x_0 \end{cases} \]

证：omitted

对一般的初值问题(E)，有两个解 \(y=Z(x)\)和 \(y=W(x)\)，使得(E)的任何解 \(y=y(x)\)都满足不等式： \[ W(x)\leqslant y(x)\leqslant Z(x),\quad(\left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant h) \] 则称 \(y=W(x)\)和 \(y=Z(x)\)分别为初值问题(E)的最小解和最大解.

定理3.7：存在正数 \(\sigma<h\)，使得在区间 \(\left\vert x-x_0 \right\vert \leqslant \sigma\)上，上述初值问题(E)有最小解和最大解.

注意，由于初值问题(E)的所有解在 \((x_0,y_0)\)点均相切，所以(E)的左行最大（小）解和右行最大（小）解就可拼接为整个区间上的最大（小）解.

(E)的解是唯一的，当且仅当它的最小解和最大解是恒同的.

定理3.8（第二比较定理）：设函数 \(f(x, y)\)与 \(F(x, y)\)都在平面区域 \(G\)内连续且满足 \[ f(x, y)\leqslant F(x, y),\quad (x, y) \in G \] 又设函数 \(y=\varphi(x)\)与 \(y=\Phi(x)\)在区间 \(a<x<b\)上分别是初值问题 \[ (E_1):\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x, y),\quad y(x_0)=y_0 \] 与 \[ (E_2):\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F(x, y),\quad y(x_0)=y_0 \] 的解，并且 \(y=\varphi(x)\)是 \((E_1)\)的右行最小解和左行最大解（或者：\(y=\Phi(x)\)是 \((E_2)\)的右行最大解和左行最小解），则有如下比较关系： \[ \varphi(x)\leqslant \Phi(x),\qquad x_0\leqslant x<b; \\ \varphi(x)\geqslant \Phi(x),\qquad a<x\leqslant x_0 \] 证：此定理容易从定理3.6和定理3.7推出.