常微分方程（2）

初等积分法

恰当方程

考虑对称形式的一阶微分方程 \[ P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0 \] 如果存在一个可微函数\(\Phi(x,y)\)使得它的全微分为 \[ \mathrm{d}\Phi(x,y)=P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y \] 则称该方程为恰当方程或全微分方程. 此时 \[ \Phi(x,y)=C \] 是该方程的一个通解. 这一点的验证需要用到隐函数定理.

定理2.1 设函数\(P(x,y)\)和\(Q(x,y)\)在区域 \[ R:\quad \alpha<a<\beta,\quad \gamma<y<\delta \] 上连续，且有连续的一阶偏导数\(\frac{\partial P}{\partial y}\)与\(\frac{\partial Q}{\partial x}\)， 则上微分方程是恰当方程的充要条件为恒等式 \[ \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) \] 在\(R\)内成立. 此时可以给出方程的通积分： \[ \int_{x_0}^xP(x,y)\mathrm{d}x+\int_{y_0}^yQ(x_0,y)\mathrm{d}y=C \] 或者 \[ \int_{x_0}^xP(x,y_0)\mathrm{d}x+\int_{y_0}^yQ(x,y)\mathrm{d}y=C \] 其中\((x_0,y_0)\)是\(R\)中任意取定的一点.

变量分离的方程

如果微分方程 \[ P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0 \] 中的函数\(P(x,y)\)和\(Q(x,y)\)均可分别表示为\(x\)的函数与\(y\)的函数的乘积，则称上方程为变量分离的方程. 令 \[ P(x,y)=X(x)Y_1(y),\quad Q(x,y)=X_1(x)Y(y) \] 以因子\(X_1(x)Y_1(y)\)去除上式两端，再积分，得到通积分 \[ \int_{}^{}\frac{X(x)}{X_1(x)}\mathrm{d}x+\int_{}^{}\frac{Y(y)}{Y_1(y)}\mathrm{d}y=C \] 但注意要补上如下形式的特解（如果它们不在上述通积分之内的话）： \[ x=a_i,\quad (i=1,2,\cdots),\text{其中$a_i$是$X_1(x)=0$的根} \] 和 \[ y=b_j,\quad (i=1,2,\cdots),\text{其中$b_j$是$Y_1(y)=0$的根} \]

习题中有一个有趣的结果： 设微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(y) \] 其中\(f(y)\)在\(y=a\)的某领域（例如区间\(\lvert y-a\rvert \leqslant \varepsilon\)）内连续，而且\(f(y)=0\)当且仅当\(y=a\). 则在直线\(y=a\)上的每一点，上方程的解是局部唯一的当且仅当瑕积分 \[ \biggl\lvert \int_{a}^{a\pm \varepsilon} \frac{\mathrm{d}y}{f(y)}\biggr\rvert=\infty \text{（发散）} \]

proof 设\(y(x_0)=a\). 首先，常值函数\(y(x)=a\)显然是方程的解.

\(\Leftarrow\)：假设方程还有解\(y=g(x)\neq a\)，则\(\exists x_1\)，\(h=g(x_1)-a\neq 0\)，则有 \[ \biggl\lvert \int_{a}^{a+h}\frac{1}{f(y)} \mathrm{d}y\biggr\rvert=\biggl\lvert \int_{x_0}^{x_1}\mathrm{d}x\biggr\rvert \] 右侧积分有限，与瑕积分发散矛盾.

\(\Rightarrow\)：假设方程只有唯一解 \(y(x)=a\)，若右侧瑕积分收敛，令 \(g(x)=\int_{a}^{x}\frac{1}{f(y)} \mathrm{d}y\) 则由 \[ g'(y)=\frac{1}{f(y)} ,y\neq a \] 可知有隐函数 \(y=h(g)\neq a\)，从而有 \[ \frac{\mathrm{d}h(g)}{\mathrm{d}g} =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}g(y)} =f(y)=f(h(g)) \] 即 \(y=h(g)\) 也是解，但由 \(h(g)\neq a\) 知与解唯一矛盾！

一阶线性方程

一阶线性方程即 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +p(x)y=q(x) \qquad (1) \] 其中函数\(p(x)\)和\(q(x)\)在区间 \(I=(a,b)\)上连续，当\(q(x)\equiv 0\)时，方程成为 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +p(x)y=0 \qquad (2) \] 当\(q(x)\)不恒等于零时，称(1)为非齐次线性方程；而(2)为相应的齐次线性方程.

(2)的通解形如 \[ y=C\mathrm{e}^{-\int_{}^{}p(x)\mathrm{d}x} \] 其中\(C\)是任意常数

(1)的通解形如 \[ y= \mathrm{e}^{-\int_{}^{}p(x)\mathrm{d}x}\biggl(C+\int_{}^{}q(x)\mathrm{e}^{\int_{}^{}p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x \biggr) \] 其中\(C\)是一个任意常数，取原函数时取同一个. 上方法称为积分因子法. 这里的积分因子 \[ \mu(x)=\mathrm{e}^{\int_{}^{}p(x)\mathrm{d}x} \] 注意积分因子的奇点作特殊讨论. 对于给定的初值\(y(x_0)=y_0\)，解为 \[ y= y_0\mathrm{e}^{-\int_{x_0}^{x}p(x)\mathrm{d}x}+\int_{x_0}^{x}q(s)\mathrm{e}^{-\int_{s}^{x}p(t)\mathrm{d}t}\mathrm{d}s \] 其中\(p(x)\)和\(q(x)\)在区间\(I\)上连续.

初等变换法

齐次方程：

如果微分方程 \[ P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0 \] 中的函数\(P(x)\)和\(Q(x)\)都是\(x\)和\(y\)的同次（例如\(m\)次）齐次函数，即： \[ P(tx,ty)=t^mP(x,y),\quad Q(tx,ty)=t^mQ(x,y), \] 则称上方程为齐次方程（注意这与上节定义的齐次线性方程不是一回事）. 做替换 \[ y=ux \] 得到 \[ x^m[P(1,u)+uQ(1,u)]\mathrm{d}x+x^{m+1}Q(1,u)\mathrm{d}u=0 \] 这是一个变量分离的方程. 齐次方程的另一个等价定义是 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\Phi(\frac{y}{x} ) \] 注意：做代换时要排除\(x=0\)的情况，因\(x=0\)时代换不可逆.

伯努利(Bernoulli)方程

形如 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=q(x)y^n \] 的方程称为伯努利方程，其中\(n\)为常数，而且\(n\neq 0\)和\(1\). 以\((1-n)y^{-n}\) 乘方程两边，然后令 \(z=y^{1-n}\)， 有 \[ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} +(1-n)p(x)z=(1-n)q(x) \] 这是关于未知函数\(z\)的一阶线性方程.

里卡蒂(Riccati)方程

加入一阶微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =f(x,y) \] 的右端函数\(f(x,y)\)是一个关于\(y\)的二次多项式，则称此方程为二次方程；它可写成如下形式： \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =p(x)y^2+q(x)y+r(x) \] 其中\(p(x)\)不恒为零.

定理 设已知里卡蒂方程的一个特解\(y=\phi_1(x)\)，则可用积分法求得它的通解.

证：做代换\(y=u+\phi_1(x)\)可将里卡蒂方程化为伯努利方程.

定理 设里卡蒂方程 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +ay^2=bx^m \] 其中\(a\neq 0\)，\(b,m\)都是常数. 又设\(x\neq 0\)和\(y \neq 0\). 则当且仅当 \[ m=0,-2,\frac{-4k}{2k+1} ,\frac{-4k}{2k-1}\quad(k=1,2,\cdots) \] 时，上方程可通过适当的变换化为变量分离的方程.

积分因子法

想法是对一般的方程 \[ P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0 \tag{1} \] 设法找一个可微的非零函数\(\mu =\mu (x,y)\)，使得用它乘上方程后，所得方程 \[ \mu (x,y)P(x,y)\mathrm{d}x+\mu(x,y)Q(x,y)\mathrm{d}y=0 \tag{2} \] 成为恰当方程，亦即 \[ \frac{\partial (\mu P)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu Q)}{\partial x} \tag{3} \] 这时，函数\(\mu=\mu(x,y)\)叫作上方程的一个积分因子. (3)也可以写成 \[ P\frac{\partial \mu}{\partial y} -Q\frac{\partial \mu}{\partial x} =\biggl(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \biggr)\mu \] 定理 微分方程(1)有一个只依赖于\(x\)的积分因子的充要条件是 \[ \frac{1}{Q(x,y)} \biggl(\frac{\partial P(x,y)}{\partial y} -\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} \biggr) \tag{4} \] 只依赖于\(x\)，而与\(y\)无关. 此时记(4)为\(G(x)\)，则此时 \[ \mu(x)=\mathrm{e}^{\int G(x)\mathrm{d}x} \] 是(1)的一个积分因子.

类似的，微分方程(1)有一个只依赖于\(y\)的积分因子的充要条件是 \[ \frac{1}{P(x,y)} \biggl(\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} -\frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \biggr) =H(y) \] 此时 \[ \mu(y)=\mathrm{e}^{\int H(y)\mathrm{d}y} \] 是(1)的一个积分因子.

还可以分组求积分因子. 理由是下述定理：

定理 若\(\mu =\mu (x,y)\)是方程(1)的一个积分因子，使得 \[ \mu P(x,y)\mathrm{d}x+\mu Q(x,y)\mathrm{d}y=\mathrm{d} \Phi (x,y) \] 则\(\mu(x,y)g(\Phi(x,y))\)也是(1)的一个积分因子，其中\(g(\cdot)\)是任一可微的（非零）函数.

证：验证恰当方程的条件即可. 事实上有 \[ \mu g(\Phi) P\mathrm{d}x+\mu g(\Phi)Q\mathrm{d}y=\mathrm{d}(\int g)(\Phi) \]

最后，若\(P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0\)是齐次方程，则函数 \[ \mu(x,y)=\frac{1}{xP(x,y)+yQ(x,y)} \] 是一个积分因子. 这是齐次函数的Euler定理的直接应用.

应用举例

假设在 \((x, y)\)平面上由方程 \[ \Phi(x,y,C)=0 \tag{5} \] 给出一个以 \(C\)为参数的曲线族. 称另一族曲线 \[ \Psi(x,y,K) \tag{6} \] 其中 \(K\)为参数，使得族(6)中的任一条曲线与族(5)中的每一条曲线相交成定角 \(\alpha\) (\(-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}\),以逆时针方向为正). 称这样的曲线族(6)为已知曲线族(5)的等角轨线族. 特别，当 \(\alpha=\frac{\pi}{2}\)时，称曲线族(6)为(5)的正交轨线族.

(5)满足的微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=H(x, y) \] 其中 \[ H(x, y)=-\frac{\Phi'_x (x, y,C(x, y))}{\Phi'_y (x,y,C(x, y))} \] 这里 \(C=C(x, y)\)是由 \(\Phi(x,y,C)\)决定的函数.

当 \(\alpha\neq \frac{\pi}{2}\)时，有 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{H(x, y)+\tan\alpha}{1-H(x, y)\tan \alpha} \] 而当 \(\alpha=\frac{\pi}{2}\)时，就有 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{1}{H(x, y)} \] 这些 \(H(x, y)\)都是相同的.