常微分方程（1）

最近其他东西读得有点累了，开个ODE的新坑，这主要是因为一直在读的Neuronal Dynamics里用到了很多ODE。参考书基本是丁同仁的《常微分方程教程》，会查知乎上大佬整理的笔记，可能也会附加一点Arnold的《Ordinary Differential Equations》（大概吧），大概就不指望会有动力系统的东西了。

【定义1.1】方程 \[ F(x,y,y',\cdots,y^{(n)}) \] 叫作常微分方程，其中导数实际出现的最高阶数\(n\)叫作常微分方程的阶.

一般会给一个初值条件： \[ y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y'_0,\cdots,y^{(n-1)}(x_0)=y^{(n-1)}_0 \]

【定义1.2】微分方程的解的概念. 设\(n\)阶微分方程的解 \[ y=\varphi(x,C_1,\cdots,C_n) \] 包含\(n\)个独立的任意常数\(C_1,\cdots,C_n\)（这是因为每做一次不定积分就会多一个常数），则称它为通解，独立的意思是Jacobi行列式 \[ \det \begin{bmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial C_1} & \frac{\partial \varphi}{\partial C_2} & \cdots & \frac{\partial \varphi}{\partial C_n} \\ \frac{\partial \varphi'}{\partial C_1} & \frac{\partial \varphi'}{\partial C_2} & \cdots & \frac{\partial \varphi'}{\partial C_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial \varphi^{(n-1)}}{\partial C_1} & \frac{\partial \varphi^{(n-1)}}{\partial C_2} & \cdots & \frac{\partial \varphi^{(n-1)}}{\partial C_n} \\ \end{bmatrix} \] 不为零，若解\(y=\varphi(x)\)不包含任意常数，则称它为特解. 这个定义的合理性以后再说.

利用初值条件，可以确定通解中的任意常数\(C_1,\cdots,C_n\). 注意：由于分析方法的限制（如隐函数存在定理的局部性），一般只能在局部范围内讨论通解. 常数独立的条件保证可以反解出\(C_1,\cdots,C_n\). 为此要求\(F\)是\(C^1\)的，不过一般遇到的ODE都是充分光滑的.

考虑一阶微分方程 \[ \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=f(x,y) \] 其中\(f(x,y)\)是平面区域\(G\)内的连续函数. 它的解\(y=\varphi(x)\)在\((x,y)\)平面上的图形——一条光滑曲线\(\Gamma\)为微分方程的积分曲线. 即使并不知道积分曲线是什么，也可以知道在积分曲线任意一点处的切线方程. 书中给出了线素和线素场或方向场的概念，其实就是切向量场，可以回忆一下切丛等微分流形中的概念.

利用由关系式\(f(x,y)=k\)确定的曲线\(L_k\)，称它为线素场的等斜线. 一般会利用等斜线上点的切向量方向来画出向量场的简图.

如果一阶微分方程取如下形式： \[ \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)} \] 那么当\(P(x_0,y_x)=Q(x_0,y_0)=0\)时，称这样的点\((x_0,y_0)\)为相应微分方程的奇异点. 线素场在奇异点没有意义. 奇异点的概念十分关键.